Условие задачи:

На двух взаимно перпендикулярных наклонных плоскостях, из которых одна наклонена под углом $\alpha=30^\circ$, лежит однородный шар массой 10 кг. Найти силу давления шара на каждую плоскость. Трением пренебречь.

Задача №3.1.11 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\alpha=30^\circ$, $m=10$ кг, $F_1, F_2 — ?$

Решение задачи:

Шар находится в покое под действием трех сил: силы тяжести $mg$ и двух сил реакции $N_1$ и $N_2$. Запишем первое условие равновесия в проекции на координатные оси $x$ и $y$.

$$\left\{ \begin{gathered} {N_2} \cdot \cos \alpha = {N_1} \cdot \cos \left( {90^\circ — \alpha } \right) \hfill \\ {N_2} \cdot \sin \alpha + {N_1} \cdot \sin \left( {90^\circ — \alpha } \right) = mg \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Из тригонометрии известно, что $\sin \alpha  = \cos \left( {90^\circ  — \alpha } \right)$ и $\cos \alpha  = \sin \left( {90^\circ  — \alpha } \right)$, поэтому:

$$\left\{ \begin{gathered} {N_2} \cdot \cos \alpha = {N_1} \cdot \sin \alpha \;\;\;\;(1)\hfill \\ {N_2} \cdot \sin \alpha + {N_1} \cdot \cos \alpha = mg \;\;\;\;(2)\hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Из равенства (1) выразим реакцию $N_2$:

$${N_2} = {N_1} \cdot tg\alpha \;\;\;\;(3)$$

Полученное выражение подставим в равенство (2):

$${N_1} \cdot tg\alpha  \cdot \sin \alpha  + {N_1} \cdot \cos \alpha  = mg$$

$${N_1}\left( {tg\alpha  \cdot \sin \alpha  + \cos \alpha } \right) = mg$$

$${N_1} = \frac{{mg}}{{tg\alpha  \cdot \sin \alpha  + \cos \alpha }}$$

Используя равенство (3), найдем силу реакции $N_2$:

$${N_2} = \frac{{mg \cdot tg\alpha }}{{tg\alpha  \cdot \sin \alpha  + \cos \alpha }}$$

По третьему закону Ньютона сила давления на плоскость равна по модулю силе реакции опоры со стороны этой плоскости. Напомним, что эти силы равны лишь по величине, но противоположны по направлению и приложены к разным телам. Поэтому:

$${F_1} = \frac{{mg}}{{tg\alpha  \cdot \sin \alpha  + \cos \alpha }}$$

$${F_2} = \frac{{mg \cdot tg\alpha }}{{tg\alpha  \cdot \sin \alpha  + \cos \alpha }}$$

Посчитаем численные значения этих сил:

$${F_1} = \frac{{10 \cdot 10}}{{tg30^\circ  \cdot \sin 30^\circ  + \cos 30^\circ }} = 86,6\;Н$$

$${F_2} = \frac{{10 \cdot 10 \cdot tg30^\circ }}{{tg30^\circ  \cdot \sin 30^\circ  + \cos 30^\circ }} = 50\;Н$$

Ответ: 86,6 Н; 50 Н.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

3.1.10 В ящике находится шар массой 3 кг. Ящик наклоняют так, что его дно составляет
3.1.12 При подвеске контактного провода троллейбусной сети провес опорного троса
3.1.13 Два шара, алюминиевый и цинковый, одинакового объема и радиуса 10 см скреплены