Условие задачи:

Два шара, алюминиевый и цинковый, одинакового объема и радиуса 10 см скреплены в точке касания. На каком расстоянии от центра цинкового шара находится центр тяжести.

Задача №3.1.13 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$V_{Al}=V_{Zn}$, $R=10$ см, $l-?$

Решение задачи:

Покажем на схеме два скрепленных между собой шара одинакового объема. Введем оси координат как показано на схеме. Поскольку в таком случае схема симметрична относительно оси $x$, значит центр тяжести точно лежит на этой оси, то есть:

Координату центра тяжести системы тел $x_{цт}$ находят по такой формуле:

$${x_{цт}} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}g{x_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}g} }}$$

Здесь $m_{i}$ — масса i-того тела (шара), $x_{i}$ — координата центра тяжести i-того тела (шара).

В таком случае имеем:

$${x_{цт}} = \frac{{{m_{Al}} \cdot g \cdot 2R + {m_{Zn}} \cdot g \cdot 0}}{{{m_{Al}} \cdot g + {m_{Zn}} \cdot g}}$$

Выразим массы шаров через плотности материалов, из которых они изготовлены по известной формуле ($m= \rho V$).

$${x_{цт}} = \frac{{{\rho _{Al}} \cdot V \cdot g \cdot 2R}}{{{\rho _{Al}} \cdot V \cdot g + {\rho _{Zn}} \cdot V \cdot g}}$$

$${x_{цт}} = \frac{{{\rho _{Al}} \cdot 2R}}{{{\rho _{Al}} + {\rho _{Zn}}}}$$

Искомое расстояние $l$ равно $x_{цт}$:

$$l = {x_{цт}}$$

$$l = \frac{{{\rho _{Al}} \cdot 2R}}{{{\rho _{Al}} + {\rho _{Zn}}}}$$

Понятно, что 10 см = 0,1 м, плотность алюминия равна $\rho_{Al} = 2700\; кг/м^3$, а плотность цинка — $\rho_{Zn} = 7100\; кг/м^3$ (табличные данные). Посчитаем ответ:

$$l = \frac{{2700 \cdot 2 \cdot 0,1}}{{2700 + 7100}} = 0,0551\;м = 55,1\;мм$$

Ответ: 55,1 мм.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

3.1.12 При подвеске контактного провода троллейбусной сети провес опорного троса
3.1.14 Три однородных шара массой 1, 2 и 2 кг укреплены на легко стержне. Центр 2-ого шара
3.1.15 На одном из концов однородного стержня прикреплен груз массой 3 кг. Если стержень