Решение: Проволока из нихрома изогнута в виде кольца радиусом 1 м. В центре кольца помещен

Условие задачи:

Проволока из нихрома изогнута в виде кольца радиусом 1 м. В центре кольца помещен источник тока с ЭДС 2 В и внутренним сопротивлением 1,5 Ом. Элемент соединен с точками C и D кольца по диаметру с помощью такой же нихромовой проволоки сечением 1 мм². Определить разность потенциалов между точками C и D.

Задача №7.2.41 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(r_{рад}=1\) м, \(\rm E=2\) В, \(r=1,5\) Ом, \(S=1\) мм², \(U-?\)

Решение задачи:

Изображенную в условии задачи электрическую цепь представим в другом виде, смотрите схему, приведенную справа. Здесь \(R_1\) — сопротивление проводника из нихрома, длиной \(r_{рад}\) (т.е. двумя резисторами \(R_1\) мы показали участки от источника до точек C и D), \(R_2\) — сопротивление проводника из нихрома, длиной \({\pi}r_{рад}\) (т.е. двумя резисторами \(R_2\) мы показали участки в виде дуг окружности от точки C до точки D).

Понятно, что численные значения сопротивлений \(R_1\) и \(R_2\) можно найти по таким известным формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_1} = \rho \frac{{{r_{рад}}}}{S} \hfill \\
{R_2} = \rho \frac{{\pi {r_{рад}}}}{S} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

В этих формулах \(\rho\) — удельное электрическое сопротивление нихрома, равное 1100 нОм·м.

Учитывая, что два проводника \(R_2\) соединены параллельно, то разность потенциалов между точками C и D можно определить таким образом:

\[U = I\frac{{{R_2}}}{2}\;\;\;\;(1)\]

Силу тока \(I\) в электрической цепи найдем, применив закон Ома для полной цепи:

\[I = \frac{{\rm E}}{{R + r}}\;\;\;\;(2)\]

Здесь \(R\) — полное внешнее сопротивление электрической цепи, которое можно посчитать по такой формуле (поскольку два последовательно соединенных резистора \(R_1\) соединены последовательно с двумя параллельно соединенными резисторами \(R_2\)):

\[R = 2{R_1} + \frac{{{R_2}}}{2}\]

\[R = \frac{{4{R_1} + {R_2}}}{2}\;\;\;\;(3)\]

Подставим (3) в (2):

\[I = \frac{{\rm E}}{{\frac{{4{R_1} + {R_2}}}{2} + r}}\]

\[I = \frac{{2{\rm E}}}{{4{R_1} + {R_2} + 2r}}\]

Это выражение подставим в (1), тогда:

\[U = \frac{{{\rm E}{R_2}}}{{4{R_1} + {R_2} + 2r}}\]

Осталось только использовать формулы для нахождения \(R_1\) и \(R_2\), приведенные в системе:

\[U = \frac{{{\rm E}\rho \frac{{\pi {r_{рад}}}}{S}}}{{4\rho \frac{{{r_{рад}}}}{S} + \rho \frac{{\pi {r_{рад}}}}{S} + 2r}}\]

Домножим и числитель, и знаменатель на \(S\):

\[U = \frac{{{\rm E}\rho \pi {r_{рад}}}}{{4\rho {r_{рад}} + \rho \pi {r_{рад}} + 2rS}}\]

\[U = \frac{{{\rm E}\rho \pi {r_{рад}}}}{{\rho {r_{рад}}\left( {4 + \pi } \right) + 2rS}}\]

Задача решена в общем виде, теперь посчитаем ответ:

\[U = \frac{{2 \cdot 1100 \cdot {{10}^{ — 9}} \cdot 3,14 \cdot 1}}{{1100 \cdot {{10}^{ — 9}} \cdot 1 \cdot \left( {4 + 3,14} \right) + 2 \cdot 1,5 \cdot {{10}^{ — 6}}}} = 0,637\;В = 637\;мВ\]