Решение: Определить ток короткого замыкания источника тока, если при внешнем сопротивлении

Условие задачи:

Определить ток короткого замыкания источника тока, если при внешнем сопротивлении 50 Ом ток в цепи 0,2 А, а при сопротивлении 110 Ом ток — 0,1 А.

Задача №7.2.11 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R_1=50\) Ом, \(I_1=0,2\) А, \(R_2=110\) Ом, \(I_2=0,1\) А, \(I_{кз}-?\)

Решение задачи:

Запишем три раза закон Ома для полной цепи — для случая, когда внешнее сопротивление цепи равно \(R_1\), когда внешнее сопротивление цепи равно \(R_2\), и когда в цепи течет ток короткого замыкания (то есть когда внешнее сопротивление цепи равно нулю).

\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = \frac{{\rm E}}{{{R_1} + r}} \;\;\;\;(1)\hfill \\
{I_2} = \frac{{\rm E}}{{{R_2} + r}} \;\;\;\;(2)\hfill \\
{I_{кз}} = \frac{{\rm E}}{r} \hfill \;\;\;\;(3)\\
\end{gathered} \right.\]

Поделим уравнение (1) на уравнение (2), тогда получим:

\[\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \frac{{{R_2} + r}}{{{R_1} + r}}\]

Перемножим «крест-накрест»:

\[{I_1}\left( {{R_1} + r} \right) = {I_2}\left( {{R_2} + r} \right)\]

Раскроем скобки:

\[{I_1}{R_1} + {I_1}r = {I_2}{R_2} + {I_2}r\]

Все члены с \(r\) перенесем в левую сторону, остальные — в правую:

\[{I_1}r — {I_2}r = {I_2}{R_2} — {I_1}{R_1}\]

Вынесем в левой части внутреннее сопротивление \(r\) за скобки, чтобы в дальнейшем выразить его:

\[r\left( {{I_1} — {I_2}} \right) = {I_2}{R_2} — {I_1}{R_1}\]

\[r = \frac{{{I_2}{R_2} — {I_1}{R_1}}}{{{I_1} — {I_2}}}\;\;\;\;(4)\]

Из формулы (3) видно, что для расчета тока короткого замыкания нам нужно еще знать ЭДС источника \(\rm E\). Его можно выразить из формул (1) или (2):

\[{\rm E} = {I_1}\left( {{R_1} + r} \right)\;\;\;\;(5)\]

В итоге, сначала по формуле (4) произведем расчет внутреннего сопротивления, далее по формуле (5) найдем значение ЭДС, а потом уже по формуле (3) найдем искомый ток короткого замыкания.

\[r = \frac{{0,1 \cdot 110 — 0,2 \cdot 50}}{{0,2 — 0,1}} = 10\;Ом\]

\[{\rm E} = 0,2 \cdot \left( {50 + 10} \right) = 12\;В\]

\[{I_{кз}} = \frac{{12}}{{10}} = 1,2\;А = 1200\;мА\]