Решение: Элемент замыкают один раз сопротивлением 4 Ом, другой

Условие задачи:

Элемент замыкают один раз сопротивлением 4 Ом, другой — резистором сопротивлением 9 Ом. В том и другом случае во внешней цепи выделяется одинаковая мощность. При каком внешнем сопротивлении она будет наибольшая?

Задача №7.4.54 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R_1=4\) Ом, \(R_2=9\) Ом, \(P_1=P_2\), \(R-?\)

Решение задачи:

Известно, что наибольшая мощность выделяется во внешней цепи при внешнем сопротивлении \(R\), равном внутреннему \(r\) (будем использовать этот факт бездоказательно), то есть:

\[R = r\;\;\;\;(1)\]

Известно, что полезную мощность \(P\) (т.е. мощность, выделяющуюся во внешней цепи) можно определить по такой формуле:

\[P = {I^2}R\;\;\;\;(2)\]

Силу тока в цепи \(I\) найдем по закону Ома для полной цепи:

\[I = \frac{{\rm E}}{{R + r}}\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражение для тока (3) в формулу (2):

\[P = \frac{{{{\rm E}^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}\]

Отлично, тогда запишем эту формулу для двух значений сопротивления, описанных в условии:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1} = \frac{{{{\rm E}^2}{R_1}}}{{{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}} \hfill \\
{P_2} = \frac{{{{\rm E}^2}{R_2}}}{{{{\left( {{R_2} + r} \right)}^2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Так как сказано, что мощности \(P_1\) и \(P_2\) равны, то:

\[\frac{{{{\rm E}^2}{R_1}}}{{{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}} = \frac{{{{\rm E}^2}{R_2}}}{{{{\left( {{R_2} + r} \right)}^2}}}\]

\[\frac{{{R_1}}}{{{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}} = \frac{{{R_2}}}{{{{\left( {{R_2} + r} \right)}^2}}}\]

Чтобы решить это уравнение, перемножим «крест-накрест»:

\[{R_1}{\left( {{R_2} + r} \right)^2} = {R_2}{\left( {{R_1} + r} \right)^2}\]

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

\[{R_1}R_2^2 + 2{R_1}{R_2}r + {R_1}{r^2} = {R_2}R_1^2 + 2{R_1}{R_2}r + {R_2}{r^2}\]

\[{R_1}R_2^2 + {R_1}{r^2} = {R_2}R_1^2 + {R_2}{r^2}\]

\[{R_1}R_2^2 — {R_2}R_1^2 = {R_2}{r^2} — {R_1}{r^2}\]

\[{R_1}{R_2}\left( {{R_2} — {R_1}} \right) = {r^2}\left( {{R_2} — {R_1}} \right)\]

\[{r^2} = {R_1}{R_2}\]

\[r = \sqrt {{R_1}{R_2}} \;\;\;\;(4)\]