Условие задачи:

ЭДС батареи аккумуляторов 12 В. Сила тока короткого замыкания 5 А. Какую наибольшую мощность можно получить во внешней цепи, соединенной с такой батареей?

Задача №7.4.37 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\rm E=12$ В, $I_{кз}=5$ А, $P_{max}-?$

Решение задачи:

Так как в условии дана сила тока при коротком замыкании $I_{кз}$ и ЭДС источника $\rm E$, то мы можем определить внутреннее сопротивление источника $r$:

$${I_{кз}} = \frac{{\rm E}}{r}\;\;\;\;(1)$$

$$r = \frac{{\rm E}}{{{I_{кз}}}}\;\;\;\;(2)$$

Эти формулы пригодятся нам при дальнейшем решении.

Полезную мощность $P$, то есть мощность, которая выделяется на внешней цепи, можно найти по формуле:

$$P = UI\;\;\;\;(3)$$

Здесь $U$ — напряжение на внешней цепи, которое можно найти согласно закону Ома по формуле:

$$U = {\rm E} — Ir\;\;\;\;(4)$$

Подставим выражение (4) в формулу (3):

$$P = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I$$

Рассмотрим функцию $P\left( I \right)$, то есть зависимость мощности от силы тока:

$$P\left( I \right) = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I$$

Раскроем скобки, тогда:

$$P\left( I \right) = {\rm E}I — {I^2}r\;\;\;\;(5)$$

Понятно, что графиком этой функции является парабола, обращенная ветвями вниз, при этом функция достигает максимума при силе тока $I_{max}$, равной:

$${I_{max }} = \frac{{\rm E}}{{2r}}$$

Учитывая (1), имеем:

$${I_{max}} = \frac{{{I_{кз}}}}{2}$$

Если подставить $I_{max}$ в (5), то получим искомое значение максимальной мощности во внешней цепи $P_{max}$:

$${P_{max}} = {\text{E}}{I_{max}} — I_{max}^2r$$

$$P_{max} = {\text{E}}\frac{{{I_{кз}}}}{2} — \frac{{I_{кз}^2}}{4}r$$

Учитывая выражение (2), имеем:

$$P_{max} = {\text{E}}\frac{{{I_{кз}}}}{2} — \frac{{I_{кз}^2}}{4} \cdot \frac{{\rm E}}{{{I_{кз}}}}$$

$${P_{max}} = \frac{{{\text{E}}{I_{кз}}}}{4}$$

Посчитаем ответ:

$${P_{max}} = \frac{{12 \cdot 5}}{4} = 15\;Вт$$

Ответ: 15 Вт.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

7.4.36 Определить ток короткого замыкания источника питания, если при токе 15 А он отдает
7.4.38 В электрочайник с сопротивлением 140 Ом налита вода массой 1,5 кг при температуре 20 С
7.4.39 Два элемента с ЭДС 5 и 10 В и внутренними сопротивлениями 1 и 2 Ом соединены последовательно