Условие задачи:

Аккумулятор замкнут на некоторый проводник. Если в цепь включить два амперметра, соединенные между собой параллельно, то они покажут силу тока 2 и 3 А. Если амперметры включить в цепь последовательно, то они покажут 4 А. Каким будет ток в цепи в отсутствие амперметров?

Задача №7.5.26 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(I_{11}=2\) А, \(I_{12}=3\) А, \(I_2=4\) А, \(I_3-?\)

Решение задачи:

В задаче рассмотрено три случая, схемы для которых приведены на рисунке. Очевидно, что в первом случае общий ток в цепи равен сумме токов \(I_{11}\) и \(I_{12}\), то есть:

\[{I_1} = {I_{11}} + {I_{12}}\]

\[{I_1} = 2 + 3 = 5\;А\]

Также должно быть понятно, что внутренние сопротивления амперметров \(R_{А1}\) и \(R_{А2}\) различны, поскольку в противном случае токи \(I_{11}\) и \(I_{12}\) были бы равны. В первом случае амперметры, соединенные параллельно, находятся под одинаковым напряжением, поэтому верно равенство:

\[{I_{11}}{R_{А1}} = {I_{12}}{R_{А2}}\]

Откуда имеем:

\[{R_{А1}} = {R_{А2}}\frac{{{I_{12}}}}{{{I_{11}}}}\]

Учитывая, что \(I_{11}=2\) А, а \(I_{12}=3\) А, получим:

\[{R_{А1}} = 1,5{R_{А2}}\]

Тогда в первом случае суммарное сопротивление двух амперметров равно \(2,5R_{А2}\), а во втором — \(0,6R_{А2}\) (чтобы убедиться в этом, воспользуйтесь формулами нахождения сопротивления последовательно и параллельно соединенных проводников).

Запишем закон Ома для полной цепи для всех трех случаев:

\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = \frac{{\rm E}}{{0,6{R_{А2}} + R + r}} \;\;\;\;(1)\hfill \\
{I_2} = \frac{{\rm E}}{{2,5{R_{А2}} + R + r}} \;\;\;\;(2)\hfill \\
{I_3} = \frac{{\rm E}}{{R + r}} \;\;\;\;(3)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Разделим (1) на (2):

\[\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \frac{{2,5{R_{А2}} + R + r}}{{0,6{R_{А2}} + R + r}}\]

Учтем, что \(I_1=5\) А, а \(I_2=4\) А:

\[\frac{5}{4} = \frac{{2,5{R_{А2}} + R + r}}{{0,6{R_{А2}} + R + r}}\]

Перемножим «крест-накрест»:

\[3{R_{А2}} + 5\left( {R + r} \right) = 10{R_{А2}} + 4\left( {R + r} \right)\]

\[7{R_{А2}} = R + r\]

\[{R_{А2}} = \frac{{R + r}}{7}\]

Полученное выражение подставим в (1):

\[{I_1} = \frac{{\rm E}}{{\frac{6}{{10}}\left( {\frac{{R + r}}{7}} \right) + R + r}}\]

\[{I_1} = \frac{{\rm E}}{{\frac{{76}}{{70}}\left( {R + r} \right)}}\]

\[{I_1} = \frac{{70{\rm E}}}{{76\left( {R + r} \right)}}\]

Если принять во внимание (3), получим:

\[{I_1} = \frac{{70{I_3}}}{{76}}\]

\[{I_1} = \frac{{35{I_3}}}{{38}}\]

Окончательно получим:

\[{I_3} = \frac{{38{I_1}}}{{35}}\]

\[{I_3} = \frac{{38 \cdot 5}}{{35}} = 5,43\;А\]

Ответ: 5,43 А.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

7.5.25 Вольтметр, подключенный к источнику с ЭДС 12 В, показывает напряжение 9 В. К его клеммам
7.5.27 К источнику тока подключены последовательно амперметр и резистор. Параллельно резистору
7.5.28 Два вольтметра, подключенные последовательно к ненагруженной батарее, показывают