Решение: Во сколько раз изменяется плотность идеального газа

Условие задачи:

Во сколько раз изменяется плотность идеального газа при изохорном охлаждении от 600 до 300 К?

Задача №4.3.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(T_0=600\) К, \(T_1=300\) К, \(\frac{{{\rho _2}}}{{{\rho _1}}} — ?\)

Решение задачи:

Это очень простая задача на понимание термодинамических процессов. Всем известно, что плотность — это отношение массы газы к занимаемому им объему, т.е.:

\[\rho = \frac{m}{V}\]

Теперь зададимся такими вопросами:

Меняется ли при изохорном процессе объем, который занимает газ? Конечно нет, т.к. это изохорный процесс (\(V = const\)), т.е. процесс, проходящий при постоянном объеме.
Меняется ли масса газа в данном процессе? Нет, поскольку не было утечек газа и его не добавляли извне, т.е. масса остается постоянной.

В итоге, если взглянуть на формулу определения плотности, то и в числителе, и в знаменателе находятся постоянные величины, а это значит, что и сама плотность остается постоянной.

Можно было пойти и другим путем. Изохорный процесс описывается законом Шарля:

\[\frac{{{p_0}}}{{{T_0}}} = \frac{{{p_1}}}{{{T_1}}}\]

\[\frac{p}{T} = const\]

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева:

\[pV = \frac{m}{M}RT\]

Так как \(\rho = \frac{m}{V}\), то:

\[p = \frac{\rho }{M}RT \Rightarrow \rho = \frac{{pM}}{{RT}}\]

Молярная масса газа и газовая постоянная, естественно, не меняются в газовом процессе, а отношение \(\frac{p}{T}\) остается постоянным вследствие приведенного выше закона Шарля. Значит и плотность остается постоянной в этом изохорном процессе, а значит отношение конечной плотности к начальной равно единице.

\[\frac{{{\rho _2}}}{{{\rho _1}}} = 1\]