Решение: В цистерне объемом 10 м3 находится воздух с относительной влажностью 70%

Условие задачи:

В цистерне объемом 10 м³ находится воздух с относительной влажностью 70% при температуре 22° C. Оцените число молекул водяного пара в комнате. Давление насыщенных паров воды при температуре 22° С равно 22 мм рт. ст.

Задача №4.4.12 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V=10\) м³, \(\varphi=70\%\), \(t=22^\circ\) C, \(h_{рт}=22\) мм, \(N-?\)

Решение задачи:

Запишем формулу связи давления идеального газа (а пар является таким до тех пор, пока он ненасыщенный) с концентрацией молекул и абсолютной температурой:

\[p = nkT\]

В этой формуле \(k\) — постоянная Больцмана, равная 1,38·10^-23 Дж/К.

Концентрация молекул \(n\) равна отношению количества молекул \(N\) к объему \(V\), занимаемому газом, поэтому:

\[p = \frac{N}{V}kT\]

\[N = \frac{{pV}}{{kT}}\;\;\;\;(1)\]

Относительная влажность воздуха \(\varphi\) — это отношение давления пара при данной температуре к давлению насыщенного пара при той же температуре (в таком случае она выражается в долях единицы).

\[\varphi = \frac{p}{{{p_н}}}\]

\[p = \varphi {p_н}\;\;\;\;(2)\]

Давление насыщенного пара дано в высоте ртутного столба \(h_{рт}\), его можно найти по формуле:

\[{p_н} = {\rho _{рт}}g{h_{рт}}\;\;\;\;(3)\]

Здесь \(\rho_{рт}\) — это плотность ртути, равная 13600 кг/м³.

Подставим выражение (3) в (2), а полученное — в формулу (1), тогда мы получим такое решение задачи в общем виде:

\[N = \frac{{\varphi {\rho _{рт}}g{h_{рт}}V}}{{kT}}\]

Переведем температуру в Кельвины, а относительную влажность — в доли единиц, высоту ртутного столба — в метры:

\[22^\circ\;C = 295\;К\]

\[70\% = 0,7\]

\[22\;мм = 0,022\;м\]

Произведём вычисления: