Решение: В сосуде объемом 10 литров находится 2 г водорода при температуре 2000 К. Определить

Условие задачи:

В сосуде объемом 10 литров находится 2 г водорода при температуре 2000 К. Определить давление газа, если при такой температуре половина молекул диссоциирована на атомы.

Задача №4.2.57 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V=10\) л, \(m=2\) г, \(T=2000\) К, \(\alpha=0,5\), \(p-?\)

Решение задачи:

При высокой температуре молекулярный водород H₂ начинает диссоциировать (распадаться) на атомы. При этом отношение количества распавшихся молекул к начальному числу молекул водорода H₂ называется степенью диссоциации \(\alpha\). В этой задаче степень диссоциации равна 0,5 согласно условию.

Давление газа в сосуде будет равно сумме парциальных давлений атомарного (H) \(p_1\) и молекулярного (H₂) \(p_2\) водорода согласно закону Дальтона.

\[p = {p_1} + {p_2}\;\;\;\;(1)\]

Пусть до начала диссоциации в сосуде содержалось \(N\) молекул H₂. Если степень диссоциации равна \(\alpha\), то число атомов водорода будет равно \(2 \alpha N\), так как из одной молекулы образуется два атома, а число молекул водорода — \(\left( {1 — \alpha } \right)N\). Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для обоих газов, представив количество вещества как отношение числа частиц к числу Авогадро \(N_А\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_1}V = \frac{{2\alpha N}}{{{N_А}}}RT \hfill \\
{p_2}V = \frac{{\left( {1 — \alpha } \right)N}}{{{N_А}}}RT \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим обе части представленных уравнений на объем \(V\), тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_1} = \frac{{2\alpha N}}{{{N_А}V}}RT \hfill \\
{p_2} = \frac{{\left( {1 — \alpha } \right)N}}{{{N_А}V}}RT \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Оба выражения для давлений подставим в формулу (1):

\[p = \frac{{2\alpha N}}{{{N_А}V}}RT + \frac{{\left( {1 — \alpha } \right)N}}{{{N_А}V}}RT\]

\[p = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right)N}}{{{N_А}V}}RT\]

Отношение числа молекул \(N\) к числу Авогадро \(N_А\) равно количеству вещества \(\nu\), которое также можно найти по формуле:

\[\nu = \frac{N}{{{N_А}}} = \frac{m}{M}\]

Здесь \(M\) — молярная масса водорода, равная 0,002 кг/моль.

В итоге получим такую окончательную формулу:

\[p = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right)m}}{{MV}}RT\]

Переведём массу \(m\) и объем \(V\) в систему СИ:

\[2\;г = 0,002\;кг\]

\[10\;л = 0,01\;м^3\]

Искомое давление \(p\) будет равно: