Решение: В откачанной ампуле объемом 3 см3 содержится радий массой 5 г в течение одного года

Условие задачи:

В откачанной ампуле объемом 3 см³ содержится радий массой 5 г в течение одного года. В результате радиоактивного распада из радия массой 1 г в одну секунду вылетает 3,7·10¹⁰ альфа-частиц, представляющих собой ядра гелия. Какое давление будет производить гелий при температуре 300 К?

Задача №4.2.67 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V=3\) см³, \(m=5\) г, \(\tau=1\) год, \(m_0=1\) г, \(N_0=3,7 \cdot 10^{10}\), \(\tau_0=1\) с, \(T=300\) К, \(p-?\)

Решение задачи:

Если скорость распада радия, то есть количество вылетающих альфа-частиц (ядер гелия) в одну секунду постоянно, то справедливо равенство:

\[\frac{{{N_0}}}{{{\tau _0}}} = \frac{{{N_1}}}{\tau }\]

\[{N_1} = {N_0}\frac{\tau }{{{\tau _0}}}\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(N_1\) — число альфа-частиц, образующихся в результате распада радия массой 1 г (\(m_0\)) за 1 год (\(\tau\)). Вполне очевидно, что из 5 г радия (\(m\)) образуется в 5 раз больше гелия, то есть верна такая формула:

\[N = \frac{m}{{{m_0}}}{N_1}\]

Учитывая (1), имеем:

\[N = \frac{{{N_0}m\tau }}{{{m_0}{\tau _0}}}\;\;\;\;(2)\]

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева, при этом количество вещества \(\nu\) запишем в виде отношения количества частиц \(N\) к числу Авогадро \(N_А\):

\[pV = \frac{N}{{{N_А}}}RT\]

В это уравнение подставим выражение (2), далее выразим искомое давление \(p\):

\[pV = \frac{{{N_0}m\tau }}{{{N_А}{m_0}{\tau _0}}}RT\]

\[p = \frac{{{N_0}m\tau }}{{V{N_А}{m_0}{\tau _0}}}RT\]

Переведем некоторые величины в систему СИ:

\[3\;см^3 = 3 \cdot {10^{ — 6}}\;м^3\]

\[5\;г = 0,005\;кг\]

\[1\;год = 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60\;с = 31536000\;с\]

\[1\;г = 0,001\;кг\]

Посчитаем ответ:

\[p = \frac{{3,7 \cdot {{10}^{10}} \cdot 0,005 \cdot 31536000}}{{3 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot 6,023 \cdot {{10}^{23}} \cdot 0,001 \cdot 1}} \cdot 8,31 \cdot 300 = 8049,5\;Па\]