Решение: В комнате объемом 60 м3 при температуре 18 C относительная влажность воздуха 50%

Условие задачи:

В комнате объемом 60 м³ при температуре 18° C относительная влажность воздуха 50%. Сколько воды надо испарить, чтобы пар в комнате стал насыщенным? При 18° C давление насыщенного пара 2063 Па.

Задача №4.4.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V=60\) м³, \(t=18^\circ\) C, \(\varphi_1=50\%\), \(\varphi_2=100\%\), \(p_н=2063\) Па, \(\Delta m-?\)

Решение задачи:

Относительная влажность воздуха \(\varphi\) равна отношению давления водяного пара при данной температуре к давлению насыщенного водяного пара при той же температуре.

\[\varphi = \frac{p}{{{p_н}}}\]

Значит давление водяного пара можно искать по формуле:

\[p = \varphi {p_н}\]

Учитывая это, запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для двух состояний водяного пара в комнате: для начального и после того, как испарят некоторую массу воды \(\Delta m\).

\[\left\{ \begin{gathered}
{\varphi _1}{p_н}V = \frac{m}{M}RT \;\;\;\;(1)\hfill \\
{\varphi _2}{p_н}V = \frac{{m + \Delta m}}{M}RT \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Молярная масса водяного пара \(M\) равна 18 г/моль или 0,018 кг/моль.

Поделим нижнее уравнение на верхнее, тогда получим такое равенство:

\[\frac{{{\varphi _2}}}{{{\varphi _1}}} = \frac{{m + \Delta m}}{m}\]

Выразим искомую массу испарённой воды \(\Delta m\):

\[\frac{{{\varphi _2}}}{{{\varphi _1}}} = 1 + \frac{{\Delta m}}{m}\]

\[\frac{{{\varphi _2} — {\varphi _1}}}{{{\varphi _1}}} = \frac{{\Delta m}}{m}\]

\[\Delta m = m\left( {\frac{{{\varphi _2} — {\varphi _1}}}{{{\varphi _1}}}} \right)\]

Начальную массу водяного пара \(m\) выразим из уравнения (1) и подставим в последнюю формулу:

\[m = \frac{{{\varphi _1}{p_н}VM}}{{RT}}\]

\[\Delta m = \frac{{{\varphi _1}{p_н}VM}}{{RT}}\left( {\frac{{{\varphi _2} — {\varphi _1}}}{{{\varphi _1}}}} \right)\]

\[\Delta m = \frac{{{p_н}VM\left( {{\varphi _2} — {\varphi _1}} \right)}}{{RT}}\]

Выполним перевод некоторых данных в систему СИ: