Решение: В 1 см3 объема при давлении 20 кПа находятся 5x10^19 атомов гелия (молярная масса гелия

Условие задачи:

В 1 см³ объема при давлении 20 кПа находятся 5·10¹⁹ атомов гелия (молярная масса гелия \(M=0,004\) кг/моль). Чему равна средняя квадратичная скорость атомов гелия при этих условиях?

Задача №4.1.72 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V=1\) см³, \(p=20\) кПа, \(N=5 \cdot 10^{19}\), \(M=0,004\) кг/моль, \(\upsilon_{кв}-?\)

Решение задачи:

Запишем основное уравнение МКТ:

\[p = \frac{1}{3}n{m_0}\upsilon _{кв}^2\;\;\;\;(1)\]

В это уравнении на неизвестны две величины: масса одной молекулы \(m_0\) и концентрация молекул \(n\). Первую можно найти, если молярную массу \(M\) поделить на число Авогадро \(N_А\) (оно равно 6,023·10²³ моль^-1):

\[{m_0} = \frac{M}{{{N_А}}}\;\;\;\;(2)\]

Концентрацию найдем как отношение числа молекул \(N\) к объему газа \(V\):

\[n = \frac{N}{V}\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1), тогда получим:

\[p = \frac{{NM}}{{3V{N_А}}}\upsilon _{кв}^2\]

Откуда средняя квадратичная скорость \(\upsilon_{кв}\) равна:

\[{\upsilon _{кв}} = \sqrt {\frac{{3pV{N_А}}}{{NM}}} \]

Переведем объем \(V\) в систему СИ:

\[1\;см^3 = {10^{ — 6}}\;м^3\]

Произведем вычисление ответа:

\[{\upsilon _{кв}} = \sqrt {\frac{{3 \cdot 20 \cdot {{10}^3} \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot 6,023 \cdot {{10}^{23}}}}{{5 \cdot {{10}^{19}} \cdot 0,004}}} = 425\;м/с\]