Решение: Сосуд вместимостью 0,6 м3, содержащий гелий массой 2 кг, разорвался при температуре

Условие задачи:

Сосуд вместимостью 0,6 м³, содержащий гелий массой 2 кг, разорвался при температуре 400° C. Определите, какое максимальное количество азота можно хранить в таком сосуде при 30° C с учётом пятикратного запаса прочности.

Задача №4.2.56 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V=0,6\) м³, \(m_1=2\) кг, \(t_1=400^\circ\) C, \(t_2=30^\circ\) C, \(n=5\), \(m_2-?\)

Решение задачи:

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для гелия и азота:

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_1}V = \frac{{{m_1}}}{{{M_1}}}R{T_1} \hfill \\
{p_2}V = \frac{{{m_2}}}{{{M_2}}}R{T_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим верхнее уравнение системы на нижнее:

\[\frac{{{p_1}}}{{{p_2}}} = \frac{{{m_1}{M_2}{T_1}}}{{{m_2}{M_1}{T_2}}}\;\;\;\;(1)\]

Запас прочности \(n\) — это отношение максимального давления к допустимому. Так как при давлении гелия \(p_1\) баллон разорвался, то максимальное давление равно \(p_1\). Допустимое давление в данном случае — это давление, при котором хранится азот \(p_2\).

\[n = \frac{{{p_1}}}{{{p_2}}}\]

Тогда равенство (1) примет вид:

\[n = \frac{{{m_1}{M_2}{T_1}}}{{{m_2}{M_1}{T_2}}}\]

Выразим искомую массу азота \(m_2\):

\[{m_2} = \frac{{{m_1}{M_2}{T_1}}}{{n{M_1}{T_2}}}\]

Молярная масса гелия \(M_1\) равна 0,004 кг/моль, азота \(M_2\) — 0,028 кг/моль. Переведём температуры в систему СИ:

\[400^\circ\;C = 673\;К\]

\[30^\circ\;C = 303\;К\]

Произведём вычисления:

\[{m_2} = \frac{{2 \cdot 0,028 \cdot 673}}{{5 \cdot 0,004 \cdot 303}} = 6,219\;кг = 6219\;г\]