Решение: Сколько молекул воздуха выходит из комнаты объемом 80 м3 при повышении температуры

Условие задачи:

Сколько молекул воздуха выходит из комнаты объемом 80 м³ при повышении температуры от 15 до 27° C? Атмосферное давление 100 кПа.

Задача №4.2.30 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$V=80$ м3, $t_1=15^\circ$ C, $t_2=27^\circ$ C, $p=100$ кПа, $\Delta N-?$

Решение задачи:

Хочется сразу отметить, что воздух — это смесь газов (азота, кислорода, углекислого газа и других), поэтому фактически молекулы воздуха не существует. Так можно лишь говорить, если воспринимать воздух в виде модели как однородный газ (то есть состоящий из одинаковых молекул) с молярной массой $M$ , равной 0,029 кг/моль.

Пусть изначально в комнате содержалось $N$ молекул, а $\Delta N$ молекул вышло из комнаты вследствие повышения температуры. Давление в комнате будет постоянным и равным атмосферному $p$ , так как комната не может быть герметичной (если бы она была герметичной, то куда вышли молекулы?).

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для начального и конечного моментов времени, при этом распишем количество вещества $\nu$ как отношение числа молекул к числу Авогадро $N_А$ :

$\left\{ \begin{gathered} pV = \frac{N}{{{N_А}}}R{T_1} \;\;\;\;(1)\hfill \\ pV = \frac{{N — \Delta N}}{{{N_А}}}R{T_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Левые части уравнений, входящих в систему, равны, поэтому можем приравнять их правые части:

$N{T_1} = \left( {N — \Delta N} \right){T_2}$

Выразим из полученного равенства $\Delta N$ :

$N — \Delta N = N\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}$

$\Delta N = N\left( {1 — \frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}} \right)$

В полученной формуле нам неизвестно начальное количество молекул $N$ , которое можно выразить из уравнения (1):

$N = \frac{{pV{N_А}}}{{R{T_1}}}$

Здесь $N_А$ — число Авогадро, равное 6,023·10²³ 1/моль, $R$ — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(моль·К).

В конце концов мы должны получить такую формулу:

$\Delta N = \frac{{pV{N_А}}}{{R{T_1}}}\left( {1 — \frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}} \right)$

Переведем температуры в шкалу абсолютных температур, поскольку именно в таком виде они фигурируют в уравнении Клапейрона-Менделеева:

$15^\circ\;C = 288\;К$

$27^\circ\;C = 300\;К$

Произведем вычисления:

$\Delta N = \frac{{100 \cdot {{10}^3} \cdot 80 \cdot 6,023 \cdot {{10}^{23}}}}{{8,31 \cdot 288}}\left( {1 — \frac{{288}}{{300}}} \right) = 8,05 \cdot {10^{25}}$