Решение: Сколько молекул воздуха выходит из комнаты объемом 80 м3 при повышении температуры

Условие задачи:

Сколько молекул воздуха выходит из комнаты объемом 80 м³ при повышении температуры от 15 до 27° C? Атмосферное давление 100 кПа.

Задача №4.2.30 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V=80\) м3, \(t_1=15^\circ\) C, \(t_2=27^\circ\) C, \(p=100\) кПа, \(\Delta N-?\)

Решение задачи:

Хочется сразу отметить, что воздух — это смесь газов (азота, кислорода, углекислого газа и других), поэтому фактически молекулы воздуха не существует. Так можно лишь говорить, если воспринимать воздух в виде модели как однородный газ (то есть состоящий из одинаковых молекул) с молярной массой \(M\), равной 0,029 кг/моль.

Пусть изначально в комнате содержалось \(N\) молекул, а \(\Delta N\) молекул вышло из комнаты вследствие повышения температуры. Давление в комнате будет постоянным и равным атмосферному \(p\), так как комната не может быть герметичной (если бы она была герметичной, то куда вышли молекулы?).

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для начального и конечного моментов времени, при этом распишем количество вещества \(\nu\) как отношение числа молекул к числу Авогадро \(N_А\):

\[\left\{ \begin{gathered}
pV = \frac{N}{{{N_А}}}R{T_1} \;\;\;\;(1)\hfill \\
pV = \frac{{N — \Delta N}}{{{N_А}}}R{T_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Левые части уравнений, входящих в систему, равны, поэтому можем приравнять их правые части:

\[N{T_1} = \left( {N — \Delta N} \right){T_2}\]

Выразим из полученного равенства \(\Delta N\):

\[N — \Delta N = N\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}\]

\[\Delta N = N\left( {1 — \frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}} \right)\]

В полученной формуле нам неизвестно начальное количество молекул \(N\), которое можно выразить из уравнения (1):

\[N = \frac{{pV{N_А}}}{{R{T_1}}}\]

Здесь \(N_А\) — число Авогадро, равное 6,023·10²³ 1/моль, \(R\) — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(моль·К).

В конце концов мы должны получить такую формулу:

\[\Delta N = \frac{{pV{N_А}}}{{R{T_1}}}\left( {1 — \frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}} \right)\]

Переведем температуры в шкалу абсолютных температур, поскольку именно в таком виде они фигурируют в уравнении Клапейрона-Менделеева:

\[15^\circ\;C = 288\;К\]

\[27^\circ\;C = 300\;К\]

Произведем вычисления:

\[\Delta N = \frac{{100 \cdot {{10}^3} \cdot 80 \cdot 6,023 \cdot {{10}^{23}}}}{{8,31 \cdot 288}}\left( {1 — \frac{{288}}{{300}}} \right) = 8,05 \cdot {10^{25}}\]