Решение: Откачанная лампа накаливания объемом 10 см3 имеет трещину, в которую проникает

Условие задачи:

Откачанная лампа накаливания объемом 10 см³ имеет трещину, в которую проникает 10¹⁸ частиц газа за 1 секунду. Сколько времени нужно, чтобы в лампе установилось нормальное давление при температуре 27° C?

Задача №4.2.36 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V=10\) см³, \(N_0=10^{18}\), \(\tau_0=1\) с, \(t=27^\circ\) C, \(\tau-?\)

Решение задачи:

За время \(\tau_0\) в лампу проникает \(N_0\) молекул, а за искомое время \(\tau\) — \(N\) молекул. Если считать, что количество молекул, проникающих в лампу за секунду, всегда постоянно, то справедливо отношение:

\[\frac{{{N_0}}}{{{\tau _0}}} = \frac{N}{\tau }\]

\[N = {N_0}\frac{\tau }{{{\tau _0}}}\;\;\;\;(1)\]

Заметим, что в начале в лампе совсем не было газа (так как она откачанная).

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для момента, когда в лампе установится нормальное давление \(p_0\) (оно равно 100 кПа). При этом количество вещества \(\nu\) представим как отношение числа молекул \(N\) к числу Авогадро \(N_А\):

\[{p_0}V = \frac{N}{{{N_А}}}RT\]

Учитывая (1), уравнение примет вид:

\[{p_0}V = \frac{{{N_0}\tau }}{{{N_А}{\tau _0}}}RT\]

Откуда искомое время \(\tau\) равно:

\[\tau = \frac{{{p_0}V{N_А}{\tau _0}}}{{{N_0}RT}}\]

Число Авогадро \(N_А\) равно 6,023·10²³ моль^-1, универсальная газовая постоянная \(R\) равна 8,31 Дж/(моль·К). Переведем некоторые величины:

\[10\;см^3 = 10 \cdot {10^{ — 6}}\;м^3\]

\[27^\circ\;C = 300\;К\]

Произведем вычисления:

\[\tau = \frac{{100 \cdot {{10}^3} \cdot 10 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot 6,023 \cdot {{10}^{23}} \cdot 1}}{{{{10}^{18}} \cdot 8,31 \cdot 300}} = 241,6\;с\]