Решение: Компрессор всасывает в 1 мин 3 м3 сухого воздуха при температуре 290 К и давлении 100 кПа

Условие задачи:

Компрессор всасывает в 1 мин 3 м³ сухого воздуха при температуре 290 К и давлении 100 кПа и нагнетает его в резервуар, объем которого 8,5 м³. За какое время компрессор накачает воздух в резервуар до давления 700 кПа? Температура в резервуаре 300 К, перед накачиванием он был заполнен воздухом при давлении 200 кПа.

Задача №4.2.105 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\tau=1\) мин, \(V_0=3\) м³, \(T_0=290\) К, \(p_0=100\) кПа, \(V=8,5\) м³, \(p=700\) кПа, \(T=300\) К, \(p_1=200\) кПа, \(t-?\)

Решение задачи:

Если компрессор равномерно закачивает за время \(\tau\) количество вещества воздуха, равное \(\nu_0\), то за искомое время \(t\) он закачает количество вещества, равное \(\frac{{{\nu _0}t}}{\tau }\).

Запишем три раза уравнение Клапейрона-Менделеева: для воздуха, который закачивается за время \(\tau\), а также для начального и конечного состояния воздуха в резервуаре.

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_0}{V_0} = {\nu _0}R{T_0} \;\;\;\;(1)\hfill \\
{p_1}V = {\nu _1}RT \;\;\;\;(2)\hfill \\
pV = \left( {{\nu _1} + \frac{{{\nu _0}t}}{\tau }} \right)RT \;\;\;\;(3)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из уравнения (3) выразим нужное время \(t\):

\[t = \tau \left( {\frac{{\frac{{pV}}{{RT}} — {\nu _1}}}{{{\nu _0}}}} \right)\;\;\;\;(4)\]

Неизвестные количества вещества \(\nu_0\) и \(\nu_1\) выразим из уравнений (1) и (2):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\nu _0} = \frac{{{p_0}{V_0}}}{{R{T_0}}} \hfill \\
{\nu _1} = \frac{{{p_1}V}}{{RT}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда формула (4) примет такой вид:

\[t = \tau \left( {\frac{{\frac{{pV}}{{RT}} — \frac{{{p_1}V}}{{RT}}}}{{\frac{{{p_0}{V_0}}}{{R{T_0}}}}}} \right)\]

Домножим и числитель, и знаменатель на \(RTT_0\).

\[t = \tau \left( {\frac{{pV{T_0} — {p_1}V{T_0}}}{{{p_0}{V_0}T}}} \right)\]

\[t = \frac{{\left( {p — {p_1}} \right)V{T_0}\tau }}{{{p_0}{V_0}T}}\]

Мы решили задачу в общем виде. Переведём время \(\tau\) в систему СИ:

\[1\;мин = 60\;с\]

Посчитаем ответ:

\[t = \frac{{\left( {700 \cdot {{10}^3} — 200 \cdot {{10}^3}} \right) \cdot 8,5 \cdot 290 \cdot 60}}{{100 \cdot {{10}^3} \cdot 3 \cdot 300}} = 821,67\;с\]