Решение: Когда из сосуда выпустили некоторое количество газа, давление в нем упало на 40%

Условие задачи:

Когда из сосуда выпустили некоторое количество газа, давление в нем упало на 40%, а абсолютная температура — на 20%. Какая часть газа осталась в сосуде?

Задача №4.2.111 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(p_2=0,6p_1\), \(T_2=0,8T_1\), \(\alpha-?\)

Решение задачи:

Пусть в начале в сосуде находилась масса газа \(m\), далее из сосуда выпускают часть газа массой \(\Delta m\). Тогда искомую величину \(\alpha\), которая показывает часть газа, оставшуюся в сосуде, можно найти по формуле:

\[\alpha = \frac{{m — \Delta m}}{m}\;\;\;\;(1)\]

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для начального и конечного состояния газа в сосуде:

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_1}V = \frac{m}{M}R{T_1} \hfill \\
{p_2}V = \frac{{m — \Delta m}}{M}R{T_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее уравнение на верхнее, тогда:

\[\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = \frac{{m — \Delta m}}{m} \cdot \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}\]

Принимая во внимание равенство (1), имеем:

\[\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = \alpha \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}\]

Откуда величина \(\alpha\) равна:

\[\alpha = \frac{{{p_2}{T_1}}}{{{p_1}{T_2}}}\]

В условии задачи сказано, что давление понизилось на 40% (\(p_2=0,6p_1\)), а абсолютная температура — на 20% (\(T_2=0,8T_1\)), значит:

\[\alpha = \frac{{0,6{p_1} \cdot {T_1}}}{{{p_1} \cdot 0,8{T_1}}} = \frac{{0,6}}{{0,8}} = 0,75\]