Условие задачи:

Имеется два сосуда с одним и тем же газом при одинаковой температуре. Плотность газа в первом сосуде 30 кг/м³, во втором — 20 кг/м³. Объем первого сосуда в 3 раза меньше объема второго. Какая плотность газа установится, если сосуды соединить?

Задача №4.2.75 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(T_1=T_2=T\), \(\rho_1=30\) кг/м³, \(\rho_2=20\) кг/м³, \(V_2=3V_1\), \(\rho-?\)

Решение задачи:

Применим уравнение Клапейрона-Менделеева для начального состояния газов в различных сосудах и конечного состояния после соединения сосудов:

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_1}{V_1} = \frac{{{m_1}}}{M}RT \;\;\;\;(1)\hfill \\
{p_2}{V_2} = \frac{{{m_2}}}{M}RT \;\;\;\;(2)\hfill \\
p\left( {{V_1} + {V_2}} \right) = \frac{{{m_1} + {m_2}}}{M}RT \;\;\;\;(3)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Сложим уравнения (1) и (2), тогда получим следующее равенство:

\[{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2} = \frac{{{m_1} + {m_2}}}{M}RT\]

У полученного равенства и уравнения (3) равны правые части, значит равны и левые, то есть:

\[{p_1}{V_1} + {p_2}{V_2} = p\left( {{V_1} + {V_2}} \right)\]

По условию объем первого сосуда в 3 раза меньше объема второго (\(V_2=3V_1\)), поэтому:

\[{p_1}{V_1} + 3{p_2}{V_1} = 4p{V_1}\]

\[{p_1} + 3{p_2} = 4p\;\;\;\;(4)\]

Вернёмся к системе уравнений. Если поделить обе части каждого уравнения на соответствующий объём, то получим такую систему (так как плотность газа — это отношение массы газа к объему):

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_1} = \frac{{{\rho _1}}}{M}RT \hfill \\
{p_2} = \frac{{{\rho _2}}}{M}RT \hfill \\
p = \frac{\rho }{M}RT \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

С учётом этого формула (4) примет вид:

\[\frac{{{\rho _1}}}{M}RT + 3\frac{{{\rho _2}}}{M}RT = 4\frac{\rho }{M}RT\]

\[{\rho _1} + 3{\rho _2} = 4\rho \]

\[\rho  = \frac{{{\rho _1} + 3{\rho _2}}}{4}\]

Посчитаем ответ:

\[\rho  = \frac{{30 + 3 \cdot 20}}{4} = 22,5\;кг/м^3 \approx 0,023\;г/см^3\]

Ответ: 0,023 г/см³.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

4.2.74 Если нагреть 1 моль идеального газа на 1 К при постоянном объеме, то давление возрастет
4.2.76 При увеличении температуры газа на 60 К его объем возрос на 1 л. На сколько литров
4.2.77 Насос захватывает при каждом качании 1 л воздуха при нормальных условиях и нагнетает