Решение: Баллон содержит 0,3 кг гелия. Абсолютная температура в баллоне уменьшилась на 10%

Условие задачи:

Баллон содержит 0,3 кг гелия. Абсолютная температура в баллоне уменьшилась на 10%, масса газа тоже уменьшилась. В результате давление упало на 20%. Сколько молекул гелия ушло из баллона?

Задача №4.2.66 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=0,3\) кг, \(T_2=0,9T_1\), \(p_2=0,8p_1\), \(\Delta N-?\)

Решение задачи:

Пусть \(N\) — начальное число атомов гелия в баллоне, а \(\Delta N\) — число ушедших из баллона атомов гелия.

Запишем дважды уравнение Клапейрона-Менделеева для двух состояний гелия, о которых говорится в условии. При этом количество вещества гелия представим как отношение числа молекул к числу Авогадро \(N_А\).

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_1}V = \frac{N}{{{N_А}}}R{T_1} \hfill \\
{p_2}V = \frac{{N — \Delta N}}{{{N_А}}}R{T_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее уравнение на верхнее, тогда:

\[\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = \left( {1 — \frac{{\Delta N}}{N}} \right) \cdot \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}\]

По условию температура гелия уменьшилась на 10% (\(T_2=0,9T_1\)), а давление упало на 20% (\(p_2=0,8p_1\)), поэтому:

\[\frac{{0,8{p_1}}}{{{p_1}}} = \left( {1 — \frac{{\Delta N}}{N}} \right) \cdot \frac{{0,9{T_1}}}{{{T_1}}}\]

\[0,8 = 0,9\left( {1 — \frac{{\Delta N}}{N}} \right)\]

\[\frac{8}{9} = 1 — \frac{{\Delta N}}{N}\]

\[\Delta N = \frac{1}{9}N\]

Начальное число атомов гелия \(N\) можно найти так:

\[N = \nu {N_А}\]

Число Авогадро \(N_А\) равно 6,023·10²³ моль^-1.

Количество вещества \(\nu\) определим как отношение начальной массы гелия \(m\) к молярной массе гелия \(M\) (она равна 0,004 кг/моль):

\[\nu = \frac{m}{M}\]