Решение: Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 200 В, влетела в точке 1

Условие задачи:

Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 200 В, влетела в точке 1 в поперечное магнитное поле с индукцией 4 мТл. Расстояние между точками 1 и 2 равно 1 м. Найдите отношение заряда частицы к ее массе.

Задача №8.2.13 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$U=200$ В, $B=4$ мТл, $d=1$ м, $\frac{q}{m}-?$

Решение задачи:

Зная, что заряженная частица была ускорена разностью потенциалов $U$ , её скорость $\upsilon$ можно найти по закону сохранения энергии:

$qU = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}$

Откуда:

$\upsilon = \sqrt {\frac{{2qU}}{{m}}} \;\;\;\;(1)$

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца $F_Л$ , которую определяет следующая формула:

${F_Л} = B\upsilon q\sin \alpha \;\;\;\;(2)$

Здесь $B$ — индукция магнитного поля, $\upsilon$ — скорость частицы, $q$ — модуль заряда частицы, $\alpha$ — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции ( $\alpha=90^\circ$ , так как по условию поле поперечное).

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. Пусть мы имеем дело с положительно заряженной частицей, тогда в нашем случае (при таком направлении вектора магнитной индукции) сила Лоренца будет направлена вниз (имеется ввиду направление силы Лоренца в точке 1).

Сила Лоренца $F_Л$ сообщает частице центростремительное ускорение $a_ц$ , поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

${F_Л} = m{a_ц}\;\;\;\;(3)$

Центростремительное ускорение $a_ц$ можно определить через скорость $\upsilon$ и радиус кривизны траектории $R$ по формуле:

${a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(4)$

Подставим (4) в (3), тогда:

${F_Л} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(5)$

Приравняем правые части (2) и (5):

$B\upsilon q\sin \alpha = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}$

Имеем:

$Bq\sin \alpha = \frac{{m\upsilon }}{R}$

Учитывая (1), получим:

$Bq\sin \alpha = \frac{m}{R}\sqrt {\frac{{2qU}}{m}}$

Возведем в квадрат обе части этого равенства:

${B^2}{q^2}{\sin ^2}\alpha = \frac{{{m^2}}}{{{R^2}}} \cdot \frac{{2qU}}{m}$

${B^2}{\sin ^2}\alpha = \frac{m}{{{R^2}}} \cdot \frac{{2U}}{q}$

Откуда искомое отношение заряда частицы к массе $\frac{q}{m}$ равно:

$\frac{q}{m} = \frac{{2U}}{{{B^2}{R^2}{{\sin }^2}\alpha }}$

Очевидно, что расстояние между точками 1 и 2 равно диаметру окружности, по которой движется заряженная частица в магнитном поле. Известно, что радиус окружности равен половине диаметра, то есть $R= \frac{D}{2}$ , поэтому окончательно имеем:

$\frac{q}{m} = \frac{{8U}}{{{B^2}{D^2}{{\sin }^2}\alpha }}$