Решение: Виток площадью 50 см2 замкнут на конденсатор емкостью 20 мкФ. Плоскость витка

Условие задачи:

Виток площадью 50 см² замкнут на конденсатор емкостью 20 мкФ. Плоскость витка перпендикулярна магнитному полю. Определить скорость изменения магнитного поля, если заряд на конденсаторе равен 1 нКл.

Задача №8.4.43 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S=50\) см² , \(C=20\) мкФ, \(\beta=90^\circ\), \(q=1\) нКл, \(\frac{\Delta B}{\Delta t}-?\)

Решение задачи:

Если виток замкнут на конденсатор, значит напряжение на витке (или ЭДС индукции) равно напряжению на конденсаторе:

\[{{\rm E}_i} = U\;\;\;\;(1)\]

Напряжение на конденсаторе легко определить, зная емкость конденсатора \(C\) и заряд на его пластинах \(q\), по формуле:

\[U = \frac{q}{C}\;\;\;\;(2)\]

В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha\]

В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Угол \(\alpha\) связан с данным в условии углом \(\beta\) по формуле:

\[\alpha = 90^\circ — \beta \]

Тогда:

\[\Phi = BS\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)\]

Запишем эту формулу для определения начального и конечного магнитного потока \(\Phi_1\) и \(\Phi_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\Phi _1} = {B_1}S\cos \left( {{90^\circ } — \beta } \right) \hfill \\
{\Phi _2} = {B_2}S\cos \left( {{90^\circ } — \beta } \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Очевидно, что изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) равно:

\[\Delta \Phi = {\Phi _1} — {\Phi _2}\]

\[\Delta \Phi = \left( {{B_1} — {B_2}} \right)S\cos \left( {{90^\circ } — \beta } \right)\]

\[\Delta \Phi = \Delta BS\cos \left( {{90^\circ } — \beta } \right)\;\;\;\;(3)\]

Понятно, что из-за изменения магнитного потока в рамке будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

Подставим в полученную формулу выражение (3):

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta BS\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)}}{{\Delta t}}\;\;\;\;(4)\]

Теперь, подставим (2) и (4) в равенство (1):

\[\frac{q}{C} = \frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}S\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)\]

Откуда искомая скорость изменения индукции магнитного поля \(\frac{\Delta B}{\Delta t}\) равна:

\[\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} = \frac{q}{{SC\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)}}\]

Посчитаем численный ответ:

\[\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} = \frac{{{{10}^{ — 9}}}}{{50 \cdot {{10}^{ — 4}} \cdot 20 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot \cos \left( {90^\circ — 90^\circ } \right)}} = 0,01\;Тл/с\]