Решение: Виток медного провода помещен в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям

Условие задачи:

Виток медного провода помещен в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр витка 20 см, диаметр провода 2 мм. С какой скоростью изменяется индукция магнитного поля, если по кольцу течет ток 5 А?

Задача №8.4.59 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\beta=90^\circ\), \(d=20\) см, \(d_{пр}=2\) мм, \(I=5\) А, \(\frac{\Delta B}{\Delta t}-?\)

Решение задачи:

Силу индукционного тока в витке \(I\) будем искать, используя закон Ома:

\[I = \frac{{\rm E_i}}{R}\;\;\;\;(1)\]

Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\;\;\;\;(2)\]

Следует отметить, что для определения мгновенного значения ЭДС индукции по этой формуле интервал времени \(\Delta t\) должен стремиться к нулю, в противном случае Вы получите среднее значение ЭДС индукции. Будем считать, что в нашем случае магнитный поток изменялся равномерно, поэтому интервал времени \(\Delta t\) может быть каким угодно — среднее и мгновенное значения ЭДС индукции в таком случае будут одинаковы.

Модуль изменения магнитного потока \(\Delta \Phi\) будем определять по формуле (изменение магнитного потока происходило за счёт изменения величины магнитной индукции):

\[\Delta \Phi = \Delta BS\cos \alpha \]

Здесь угол \(\alpha\) — угол между нормалью к плоскости витка и вектором магнитной индукции, который связан с данным в условии углом \(\beta\) по очевидной формуле:

\[\alpha = 90^\circ — \beta \]

Тогда:

\[\Delta \Phi = \Delta BS\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)\]

\[\Delta \Phi = \Delta BS\sin \beta \]

Площадь витка легко найти таким образом:

\[S = \frac{{\pi {d^2}}}{4}\]

Поэтому:

\[\Delta \Phi = \frac{{\Delta B\pi {d^2}\sin \beta }}{4}\]

Формула (2) в таком случае примет вид:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta B\pi {d^2}\sin \beta }}{{4\Delta t}}\;\;\;\;(3)\]

Общее сопротивление соленоида можно найти по формуле:

\[R = \rho \frac{{4\pi d}}{{\pi d_{пр}^2}}\;\;\;\;(4)\]

В этой формуле \(\rho\) — удельное электрическое сопротивление меди, равное 17 нОм·м.

Выражения (3) и (4) подставим в формулу (1):

\[I = \frac{{\Delta B\pi {d^2}\sin \beta \cdot \pi d_{11}^2}}{{4\Delta t \cdot 4\rho \pi d}}\]

\[I = \frac{{\Delta B\pi dd_{пр}^2\sin \beta }}{{16\Delta t\rho }}\]

Откуда скорость изменения магнитной индукции \(\frac{\Delta B}{\Delta t}\) равна:

\[\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} = \frac{{16I\rho }}{{\pi dd_{пр}^2\sin \beta }}\]

Задача решена в общем виде, посчитаем ответ:

\[\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} = \frac{{16 \cdot 5 \cdot 17 \cdot {{10}^{ — 9}}}}{{3,14 \cdot 0,2 \cdot {{\left( {2 \cdot {{10}^{ — 3}}} \right)}^2} \cdot \sin 90^\circ }} = 0,541\;Тл/с = 541\;мТл/с\]