Решение: Тонкий медный провод массой 1 г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты

Условие задачи:

Тонкий медный провод массой 1 г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле 0,1 Тл так, что плоскость его перпендикулярна линиям индукции поля. Определить количество электричества, которое протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию.

Задача №8.4.67 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=1\) г, \(B=0,1\) Тл, \(\beta=90^\circ\), \(q-?\)

Решение задачи:

В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha\]

В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Если квадратную рамку вытягивают в линию, значит конечная площадь рамки (а значит и магнитный поток через неё) равна нулю. Поэтому изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) равно начальному магнитному потоку, то есть:

\[\Delta \Phi = BS\cos \alpha \;\;\;\;(1)\]

Понятно, что если угол между линиями магнитного поля и плоскостью рамки равен \(\beta\), то угол \(\alpha\) равен \(\left( {90^\circ — \beta } \right)\).

Если сторона квадратной рамки равна \(a\), то её площадь \(S\) равна:

\[S = {a^2}\]

Формула (1) в таком случае примет вид:

\[\Delta \Phi = B{a^2}\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)\]

\[\Delta \Phi = B{a^2}\sin \beta \;\;\;\;(2)\]

Понятно, что из-за изменения магнитного потока в рамке будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

Подставим в полученную формулу выражение (2) (откинем символ изменения времени «дельта»):

\[{{\rm E}_i} = \frac{{B{a^2}\sin \beta }}{t}\;\;\;\;(3)\]

С другой стороны, из закона Ома следует, что:

\[{{\rm E}_i} = IR\;\;\;\;(4)\]

В этой формуле \(I\) — сила тока в рамке, \(R\) — сопротивление рамки.

Приравняем (3) и (4), тогда:

\[\frac{{B{a^2}\sin \beta }}{t} = IR\]

Домножим обе части уравнения на время \(t\):

\[B{a^2}\sin \beta = ItR\]

Произведение силы тока \(I\) на время \(t\) даёт искомый протекший через рамку заряд \(q\), значит:

\[B{a^2}\sin \beta = qR\]