Решение: Соленоид, содержащий 1000 витков провода, находится в однородном магнитном поле

Условие задачи:

Соленоид, содержащий 1000 витков провода, находится в однородном магнитном поле, индукция которого уменьшается со скоростью 20 мТл/с. Ось соленоида составляет с вектором индукции магнитного поля угол 60°. Радиус соленоида 2 см. Определите ЭДС индукции, возникающей в соленоиде.

Задача №8.4.38 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(N=1000\), \(\frac{\Delta B}{\Delta t}=20\) мТл/с, \(\alpha=60^\circ\), \(r=2\) см, \(\rm E_i-?\)

Решение задачи:

В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha\]

В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Если начальное значение индукции магнитного поля равно \(B_1\), а конечное — \(B_2\), то начальный и конечный магнитный поток через один виток соленоида соответственно равны:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\Phi _1} = {B_1}S\cos \alpha \hfill \\
{\Phi _2} = {B_2}S\cos \alpha \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

В таком случае изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) равно (учитывая, что \(\Delta B = B_1 — B_2\)):

\[\Delta \Phi = \Delta BS\cos \alpha \;\;\;\;(1)\]

Если радиус соленоида равен \(r\), то его площадь одного его витка \(S\) равна:

\[S = \pi {r^2}\]

Формула (1) в таком случае примет вид:

\[\Delta \Phi = \Delta B\pi {r^2}\cos \alpha \;\;\;\;(2)\]

Понятно, что из-за изменения магнитного потока в кольце будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Принимая во внимание тот факт, что в соленоиде содержится \(N\) витков, имеем:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{N\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

Подставим в полученную формулу выражение (2):

\[{{\rm E}_i} = \frac{{N\Delta B\pi {r^2}\cos \alpha }}{{\Delta t}}\]

\[{{\rm E}_i} = N\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\pi {r^2}\cos \alpha \]

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в формулу и посчитаем численный ответ:

\[{{\rm E}_i} = 1000 \cdot 20 \cdot {10^{ — 3}} \cdot 3,14 \cdot {0,02^2} \cdot \cos 60^\circ = 0,01256\;В = 12,56\;мВ\]