Решение: Рамка в форме равностороннего треугольника помещена в однородное магнитное поле

Условие задачи:

Рамка в форме равностороннего треугольника помещена в однородное магнитное поле с индукцией 0,08 Тл так, что её плоскость составляет угол 60° с линиями поля. Найти длину стороны рамки, если в ней при выключении поля в течение 0,03 секунд индуцируется ЭДС 10 мВ.

Задача №8.4.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(B=0,08\) Тл, \(\alpha=60^\circ\), \(t=0,03\) с, \(\rm E_i=10\) мВ, \(a-?\)

Решение задачи:

Понятно, что из-за изменения магнитного потока (из-за изменения величины индукции до нуля) в рамке будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\;\;\;\;(1)\]

Заметим, что формулу (1) можно использовать только при равномерном изменении магнитного потока (условно мы примем изменение именно таким).

Если рамка составляет угол \(\alpha\) с линиями поля, то между нормалью к плоскости рамки и линиями поля угол равен \(\left( {90^\circ — \alpha } \right)\).

Так как конечное значение индукции магнитного поля равно нулю, а значит и магнитный поток через рамку равен нулю, то изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) равно начальному магнитному потоку, то есть:

\[\Delta \Phi = BS\cos \left( {90^\circ — \alpha } \right)\]

Таким образом, формула (1) примет вид (также избавимся от знака «дельта» перед временем, он здесь не нужен):

\[{{\text{E}}_i} = \frac{{BS\cos \left( {90^\circ — \alpha } \right)}}{t}\;\;\;\;(2)\]

Если сторона равно стороннего треугольника равна \(a\), то известно, что площадь такого равностороннего треугольника можно найти по следующей формуле:

\[S = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}\]

Полученное выражение подставим в формулу (2):

\[{{\text{E}}_i} = \frac{{\sqrt 3 B{a^2}\cos \left( {90^\circ — \alpha } \right)}}{{4t}}\]

Откуда искомая длина стороны \(a\) равна:

\[a = \sqrt {\frac{{4{{\text{E}}_i}t}}{{\sqrt 3 B\cos \left( {90^\circ — \alpha } \right)}}} \]

Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ:

\[a = \sqrt {\frac{{4 \cdot 10 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 0,03}}{{\sqrt 3 \cdot 0,08 \cdot \cos \left( {90^\circ — 60^\circ } \right)}}} = 0,1\;м\]