Решение: Рамка площадью 100 см2, на которой намотано 100 витков провода сопротивлением 10 Ом

Условие задачи:

Рамка площадью 100 см², на которой намотано 100 витков провода сопротивлением 10 Ом, расположена так, что магнитное поле с индукцией 50 мТл образует угол 60° с её плоскостью. Какой заряд протечет через рамку при повороте её на 30° так, что её плоскость будет составлять угол 30° с направлением поля?

Задача №8.4.60 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S=100\) см², \(N=100\), \(R=10\) Ом, \(B=50\) мТл, \(\beta_1=60^\circ\), \(\Delta \alpha=30^\circ\), \(\beta_2=30^\circ\), \(q-?\)

Решение задачи:

В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность (например, рамку), помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha \]

В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Запишем эту формулу для определения начального и конечного магнитного потока \(\Phi_1\) и \(\Phi_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\Phi _1} = BS\cos {\alpha _1} \hfill \\
{\Phi _2} = BS\cos {\alpha _2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Соответствующие углы \(\alpha\) связаны с данными в условии соответствующими углами \(\beta\) по простой формуле:

\[\alpha = 90^\circ — \beta \]

Тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\Phi _1} = BS\cos \left( {90^\circ — {\beta _1}} \right) \hfill \\
{\Phi _2} = BS\cos \left( {90^\circ — {\beta _2}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left\{ \begin{gathered}
{\Phi _1} = BS\sin {\beta _1} \hfill \\
{\Phi _2} = BS\sin {\beta _2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) в таком случае равно:

\[\Delta \Phi = BS\left( {\sin {\beta _2} — \sin {\beta _1}} \right)\]

Понятно, что из-за изменения магнитного потока в витке будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому, учитывая что рамка содержит \(N\) витков:

\[{{\rm E}_i} = N\left| {\frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}} \right|\]

Значит ЭДС индукции равна:

\[{{\rm E}_i} = N\left| {\frac{{BS\left( {\sin {\beta _2} — \sin {\beta _1}} \right)}}{{\Delta t}}} \right|\]

Так как \(\sin {\beta _2} < \sin {\beta _1}\), то можем избавиться от модуля, тогда получим:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{NBS\left( {\sin {\beta _1} — \sin {\beta _2}} \right)}}{{\Delta t}}\]

С другой стороны, из закона Ома следует, что:

\[{{\rm E}_i} = IR\]

В этой формуле \(I\) — сила тока в рамке, \(R\) — сопротивление рамки.

Тогда имеем:

\[\frac{{NBS\left( {\sin {\beta _1} — \sin {\beta _2}} \right)}}{{\Delta t}} = IR\]

Домножим обе части уравнения на время \(\Delta t\):

\[NBS\left( {\sin {\beta _1} — \sin {\beta _2}} \right) = I\Delta tR\]

Произведение силы тока \(I\) на время \(\Delta t\) даёт протекший через рамку заряд \(q\), значит:

\[NBS\left( {\sin {\beta _1} — \sin {\beta _2}} \right) = qR\]

Откуда заряд \(q\) равен:

\[q = \frac{{NBS\left( {\sin {\beta _1} — \sin {\beta _2}} \right)}}{R}\]

Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ:

\[q = \frac{{100 \cdot 50 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 100 \cdot {{10}^{ — 4}} \cdot \left( {\sin 60^\circ — \sin 30^\circ } \right)}}{{10}} = 0,00183\;Кл = 1,83\;мКл\]