Решение: Проволочный виток, имеющий площадь 100 см2, разрезан в некоторой точке, и в разрез

Условие задачи:

Проволочный виток, имеющий площадь 100 см², разрезан в некоторой точке, и в разрез включен конденсатор емкостью 10 мкФ. Виток помещен перпендикулярно в однородное магнитное поле, индукция которого равномерно меняется со скоростью 5 мТл/с. Определить заряд конденсатора.

Задача №8.4.58 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S=100\) см², \(C=10\) мкФ, \(\frac{\Delta B}{\Delta t}=5\) мТл/с, \(q-?\)

Решение задачи:

Если к витку подключили конденсатор, значит напряжение на витке (или ЭДС индукции) равно напряжению на конденсаторе:

\[{{\rm E}_i} = U\;\;\;\;(1)\]

Напряжение на конденсаторе легко определить, зная емкость конденсатора \(C\) и заряд на его пластинах \(q\), по формуле:

\[U = \frac{q}{C}\;\;\;\;(2)\]

В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha\]

В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции (так как виток расположен перпендикулярно к линиям индукции магнитного поля, то \(\alpha=0^\circ\)).

Тогда:

\[\Phi = BS\]

Запишем эту формулу для определения начального и конечного магнитного потока \(\Phi_1\) и \(\Phi_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\Phi _1} = {B_1}S \hfill \\
{\Phi _2} = {B_2}S \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Очевидно, что изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) равно:

\[\Delta \Phi = {\Phi _1} — {\Phi _2}\]

\[\Delta \Phi = \left( {{B_1} — {B_2}} \right)S\]

\[\Delta \Phi = \Delta BS\;\;\;\;(3)\]

Понятно, что из-за изменения магнитного потока в витке будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

Подставим в полученную формулу выражение (3):

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta BS}}{{\Delta t}}\;\;\;\;(4)\]

Теперь, подставим (2) и (4) в равенство (1):

\[\frac{{\Delta BS}}{{\Delta t}} = \frac{q}{C}\]

Откуда заряд конденсатора \(q\) равен:

\[q = \frac{{\Delta BSC}}{{\Delta t}}\]

Посчитаем численный ответ:

\[q = 5 \cdot {10^{ — 3}} \cdot 100 \cdot {10^{ — 4}} \cdot 10 \cdot {10^{ — 6}} = 5 \cdot {10^{ — 10}}\;Кл = 0,5\;нКл\]