Решение: Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 20 мкТл перпендикулярно линиям

Условие задачи:

Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 20 мкТл перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Сколько оборотов будет делать в магнитном поле протон за 1 с?

Задача №8.2.4 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(B=20\) мкТл, \(\alpha=90^\circ\), \(t=1\) с, \(N-?\)

Решение задачи:

На протон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца \(F_Л\), которую определяет следующая формула:

\[{F_Л} = B\upsilon e\sin \alpha \;\;\;\;(1)\]

Здесь \(B\) — индукция магнитного поля, \(\upsilon\) — скорость протона, \(e\) — модуль заряда протона, \(\alpha\) — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. В нашем случае (при таком направлении вектора магнитной индукции) сила Лоренца направлена вправо.

Сила Лоренца \(F_Л\) сообщает протону центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

\[{F_Л} = {m_p}{a_ц}\;\;\;\;(2)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) можно определить через скорость протона \(\upsilon\) и радиус кривизны траектории \(R\) по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(3)\]

Подставим (3) в (2), тогда:

\[{F_Л} = \frac{{{m_p}{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(4)\]

Приравняем правые части (1) и (4):

\[B\upsilon e\sin \alpha = \frac{{{m_p}{\upsilon ^2}}}{R}\]

Имеем:

\[Be\sin \alpha = \frac{{{m_p}\upsilon }}{R}\]

Откуда отношение \(\frac{\upsilon}{R}\), которое понадобится в ходе дальнейшего решения, равно:

\[\frac{\upsilon }{R} = \frac{{Be\sin \alpha }}{{{m_p}}}\;\;\;\;(5)\]

Протон совершает в магнитном поле равномерное движение по окружности со скоростью \(\upsilon\), поэтому пройдет за время \(t\) путь, равный \(\upsilon t\). Зная, что длину окружности, по которой движется протон, можно вычислить по формуле \(2 \pi R\), то искомое число оборотов \(N\) следует искать по формуле:

\[N = \frac{{\upsilon t}}{{2\pi R}}\]

Или, если записать иначе:

\[N = \frac{\upsilon }{R} \cdot \frac{t}{{2\pi }}\]

Учитывая ранее полученное выражение (5), имеем:

\[N = \frac{{Bet\sin \alpha }}{{2\pi {m_p}}}\]

Масса протона \(m_p\) равна 1,672·10^-27 кг, а его модуль его заряда \(e\) равен 1,6·10^-19 Кл. Посчитаем численный ответ:

\[N = \frac{{20 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot 1 \cdot \sin 90^\circ }}{{2 \cdot 3,14 \cdot 1,672 \cdot {{10}^{ — 27}}}} = 304,8\]