Решение: Протон описал окружность радиусом 5 см в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл

Условие задачи:

Протон описал окружность радиусом 5 см в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл. Определить скорость протона.

Задача №8.2.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R=5\) см, \(B=20\) мТл, \(\upsilon-?\)

Решение задачи:

На протон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца \(F_Л\), которую определяет следующая формула:

\[{F_Л} = B\upsilon e\sin \alpha \;\;\;\;(1)\]

Здесь \(B\) — индукция магнитного поля, \(\upsilon\) — искомая скорость протона, \(e\) — модуль заряда протона (заряд протона равен по модулю заряду электрона), \(\alpha\) — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции (\(\alpha=90^\circ\), поскольку иного не сказано в условии).

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца.

В нашем случае для протона (а протон — это положительно заряженная частица) и при таком направлении вектора магнитной индукции сила Лоренца направлена влево.

Сила Лоренца \(F_Л\) сообщает протону центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

\[{F_Л} = {m_p}{a_ц}\;\;\;\;(2)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) можно определить через скорость \(\upsilon\) и радиус кривизны траектории \(R\) по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(3)\]

Подставим (3) в (2), тогда:

\[{F_Л} = \frac{{{m_p}{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(4)\]

Приравняем правые части (1) и (4):

\[B\upsilon e\sin \alpha = \frac{{{m_p}{\upsilon ^2}}}{R}\]

Имеем:

\[Be\sin \alpha = \frac{{{m_p}\upsilon }}{R}\]

Откуда искомая скорость движения протона в магнитном поле \(\upsilon\) равна:

\[\upsilon = \frac{{BeR\sin \alpha }}{{{m_p}}}\]

Масса протона \(m_p\) равна 1,672·10^-27 кг, а его заряд \(e\) равен 1,6·10^-19 Кл. Подставим численные данные в полученную формулу и посчитаем ответ:

\[\upsilon = \frac{{20 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot 0,05 \cdot \sin 90^\circ }}{{1,672 \cdot {{10}^{ — 27}}}} = 95,7 \cdot {10^3}\;м/с = 95,7\;км/с\]