Решение: Найти максимальный магнитный поток через прямоугольную рамку, вращающуюся

Условие задачи:

Найти максимальный магнитный поток через прямоугольную рамку, вращающуюся в однородном магнитном поле с частотой 10 об/с, если амплитуда индуцируемой в рамке ЭДС 3 В.

Задача №8.3.4 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\nu=10\) об/с, \(\rm E_{imax}=3\) В, \(\Phi_{\max}-?\)

Решение задачи:

Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока (то есть первой производной функции изменения потока от времени):

\[{\rm E_i} = — \Phi ^\prime \left( t \right)\;\;\;\;(1)\]

Магнитный поток через некоторую площадку, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha \;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Учитывая, что произведение индукции магнитного поля \(B\) на площадь поверхности \(S\) дают максимальный магнитный поток \(\Phi_{\max}\), то формулу (2) можно записать в следующем виде:

\[\Phi = {\Phi _{\max }}\cos \alpha \;\;\;\;(3)\]

Прямоугольная рамка вращается в магнитном поле, то есть угол \(\alpha\) меняется со временем. Чтобы формула (3) стала выглядеть как функция изменения магнитного потока от времени, нужно представить угол \(\alpha\) в следующем виде:

\[\alpha = \omega t + {\alpha _0}\]

Здесь \(\alpha_0\) — некоторый начальный угол (также называют начальной фазой), а \(\omega\) — угловая скорость вращения рамки, которую можно определить через известную частоту \(\nu\) по формуле:

\[\omega = 2\pi \nu \]

Учитывая всё написанное, формула (3) примет вид:

\[\Phi = {\Phi _{\max }}\cos \left( {2\pi \nu t + {\alpha _0}} \right)\]

Это выражение подставим в формулу (1):

\[{\rm E_i} = — {\left( {{\Phi _{\max }}\cos \left( {2\pi \nu t + {\alpha _0}} \right)} \right)^\prime }\]

Теперь нужно взять производную, тогда мы получим:

\[{\rm E_i} = {\Phi _{\max }} \cdot 2\pi \nu \cdot \sin \left( {2\pi \nu t + {\alpha _0}} \right)\]

Очевидно, что ЭДС индукции достигнет своего максимального значения, когда синус будет равен единице, поэтому:

\[{{\rm E}_{imax}} = {\Phi _{\max }} \cdot 2\pi \nu \]

Откуда искомый максимальный магнитный поток \(\Phi_{\max}\) равен:

\[{\Phi _{\max }} = \frac{{{{\rm E}_{imax} }}}{{2\pi \nu }}\]

Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ (об/с и Гц — это одно и то же):