Решение: Короткозамкнутая катушка, состоящая из 1000 витков проволоки, помещена в магнитное поле

Условие задачи:

Короткозамкнутая катушка, состоящая из 1000 витков проволоки, помещена в магнитное поле, линии индукции которого направлены вдоль оси катушки. Площадь поперечного сечения катушки 40 см², её сопротивление 160 Ом. Найти мощность тепловых потерь, если индукция равномерно меняется со скоростью 1 мТл/с.

Задача №8.4.48 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(N=1000\), \(\alpha=0^\circ\), \(S=40\) см², \(R=160\) Ом, \(\frac{\Delta B}{\Delta t}=1\) мТл/с, \(W-?\)

Решение задачи:

Известно, что мощность тепловых потерь \(W\), выделяющуюся в катушке при протекании по ней электрического тока, можно определить по такой формуле:

\[W = {I^2}R\;\;\;\;(1)\]

Силу тока в катушке \(I\) найдем по закону Ома:

\[I = \frac{{\rm E_i}}{R}\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда:

\[W = \frac{{{\rm E}_i^2}}{R}\;\;\;\;(3)\]

Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\;\;\;\;(4)\]

Следует отметить, что для определения мгновенного значения ЭДС индукции по этой формуле интервал времени \(\Delta t\) должен стремиться к нулю, в противном случае Вы получите среднее значение ЭДС индукции. Будем считать, что в нашем случае магнитный поток изменялся равномерно, поэтому интервал времени \(\Delta t\) может быть каким угодно — среднее и мгновенное значения ЭДС индукции в таком случае будут одинаковы.

Модуль изменения магнитного потока \(\Delta \Phi\) будем определять по формуле (изменение магнитного потока происходило за счёт изменения величины магнитной индукции):

\[\Delta \Phi = \Delta BS\cos \alpha \]

Здесь угол \(\alpha\) — угол между нормалью к виткам катушки и вектором магнитной индукции, равный 90°, поэтому \(\cos \alpha = 1\). Если также учесть, что в катушке содержится \(N\) витков, то имеем:

\[\Delta \Phi = N \Delta BS\]

Полученное выражение подставим в (4):

\[{{\rm E}_i} = \frac{{N\Delta BS }}{{\Delta t}}\]

А это выражение подставим в (3):

\[W = {\left( {\frac{{N\Delta BS}}{{\Delta t}}} \right)^2}\frac{1}{R}\]

\[W = {\left( {\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}} \right)^2}\frac{{{N^2 S^2}}}{R}\]

Задача решена в общем виде, посчитаем ответ:

\[W = {\left( {{{10}^{ — 3}}} \right)^2}\frac{{{{1000}^2}{{\left( {40 \cdot {{10}^{ — 4}}} \right)}^2}}}{{160}} = {10^{ — 7}}\;Вт = 0,1\;мкВт\]