Решение: Электрон, имея скорость 2000 км/с, влетел в однородное магнитное поле с индукцией

Условие задачи:

Электрон, имея скорость 2000 км/с, влетел в однородное магнитное поле с индукцией 30 мТл под углом 30° к направлению линий индукции. Определить шаг винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

Задача №8.2.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\upsilon=2000$ км/с, $B=30$ мТл, $\alpha=30^\circ$ , $h-?$

Решение задачи:

Если электрон влетает в магнитное поле под некоторым углом $\alpha$ к линиям индукции, то он будет совершать сложное движение, состоящее из:

равномерного прямолинейного движения со скоростью $\upsilon \cdot \cos \alpha$ вдоль линий индукции магнитного поля;
равномерного движения по окружности со скоростью $\upsilon \cdot \sin \alpha$ в плоскостях, перпендикулярных линиям индукции магнитного поля.

Два этих движения дают в сумме движение электрона по так называемой винтовой линии.

Искомый шаг винта $h$ — это расстояние, которое пройдет электрон вдоль линий индукции магнитного поля за время, равное периоду вращения электрона $T$ . Поэтому:

$h = \upsilon \cos \alpha \cdot T\;\;\;\;(1)$

Зная скорость движения электрона по окружности, можно найти период вращения электрона $T$ по формуле:

$T = \frac{{2\pi R}}{{\upsilon \sin \alpha }}\;\;\;\;(2)$

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца $F_Л$ , которую определяет следующая формула:

${F_Л} = B\upsilon e\sin \alpha \;\;\;\;(3)$

Здесь $B$ — индукция магнитного поля, $\upsilon$ — скорость электрона, $e$ — модуль заряда электрона, $\alpha$ — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда, как в нашем случае), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. В нашем случае (при таком направлении вектора магнитной индукции) сила Лоренца направлена вправо.

Сила Лоренца $F_Л$ сообщает электрону центростремительное ускорение $a_ц$ , поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

${F_Л} = {m_e}{a_ц}\;\;\;\;(4)$

Центростремительное ускорение $a_ц$ можно определить через скорость, равную $\upsilon \sin \alpha$ и радиус кривизны траектории $R$ по формуле:

${a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}{{\sin }^2}\alpha }}{R}\;\;\;\;(5)$

Подставим (5) в (4), тогда:

${F_Л} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}{{\sin }^2}\alpha }}{R}\;\;\;\;(6)$

Приравняем правые части (3) и (6):

$B\upsilon e\sin \alpha = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}{{\sin }^2}\alpha }}{R}$

Имеем:

$Be = \frac{{{m_e}\upsilon \sin \alpha }}{R}$

Откуда:

$\frac{R}{{\upsilon \sin \alpha }} = \frac{{{m_e}}}{{Be}}$

Полученное подставим в (2), тогда:

$T = \frac{{2\pi {m_e}}}{{Be}}$

С учетом этого формула (1) примет вид:

$h = \frac{{2\pi {m_e}\upsilon \cos \alpha }}{{Be}}$

Масса электрона $m_e$ равна 9,1·10^-31 кг, а его заряд $e$ (вернее модуль заряда) равен 1,6·10^-19 Кл. Посчитаем численный ответ задачи:

$h = \frac{{2 \cdot 3,14 \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ — 31}} \cdot 2000 \cdot {{10}^3} \cdot \cos 30^\circ }}{{30 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}}}} = 2,06 \cdot {10^{ — 3}}\;м = 2,06\;мм$