Решение: Два замкнутых круговых проводника лежат в одной плоскости. При одинаковом изменении

Условие задачи:

Два замкнутых круговых проводника лежат в одной плоскости. При одинаковом изменении индукции однородного магнитного поля в первом возникла ЭДС индукции 0,15 В, а во втором — 0,6 В. Во сколько раз длина второго проводника больше первого?

Задача №8.4.6 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\rm E_{i1}=0,15\) В, \(\rm E_{i2}=0,6\) В, \(\frac{l_2}{l_1}-?\)

Решение задачи:

Понятно, что из-за изменения индукции магнитного поля (а, значит, и магнитного потока) в круговых проводниках будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\;\;\;\;(1)\]

Заметим, что формулу (1) можно использовать только при равномерном изменении магнитного потока (условно мы примем изменение именно таким). Так как площадь \(S\), охватываемая круговым проводником, не изменяется, то изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) следует искать по формуле:

\[\Delta \Phi = \Delta BS\]

Таким образом, формула (1) примет вид:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta BS}}{t}\;\;\;\;(2)\]

Если радиус кругового проводника равен \(r\), то его площадь \(S\) равна:

\[S = \pi {r^2}\]

Домножим и поделим правую часть этой формулы на \(4 \pi\), тогда:

\[S = \frac{{4{\pi ^2}{r^2}}}{{4\pi }}\]

Так как длину окружности \(l\) (а, значит, и длину кругового проводника) можно найти по формуле \(l = 2\pi r\), то справедливо:

\[S = \frac{{{l^2}}}{{4\pi }}\]

Учитывая это, формула (2) примет вид:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta B{l^2}}}{{4\pi t}}\]

Запишем эту формулу применительно к двум проводникам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{{\rm E}_{i1}} = \frac{{\Delta Bl_1^2}}{{4\pi t}} \hfill \\
{{\rm E}_{i2}} = \frac{{\Delta Bl_2^2}}{{4\pi t}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее равенство на верхнее:

\[\frac{{{{\rm E}_{i2}}}}{{{{\rm E}_{i1}}}} = \frac{{l_2^2}}{{l_1^2}}\]

Откуда искомое отношение длин проводников равно:

\[\frac{{{l_2}}}{{{l_1}}} = \sqrt {\frac{{{{\rm E}_{i2}}}}{{{{\rm E}_{i1}}}}} \]

Численный ответ равен:

\[\frac{{{l_2}}}{{{l_1}}} = \sqrt {\frac{{0,6}}{{0,15}}} = 2\]