Решение: Во сколько раз изменится амплитуда колебаний ускорения гармонически колеблющейся

Условие задачи:

Во сколько раз изменится амплитуда колебаний ускорения гармонически колеблющейся точки, если при неизменной амплитуде смещения частоту колебаний уменьшить в 2 раза?

Задача №9.1.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\nu_2=\frac{\nu_1}{2}\), \(\frac{a_{\max1}}{a_{\max2}}-?\)

Решение задачи:

Если материальная точка совершает гармонические колебания, то уравнение этих колебаний можно представить в виде:

\[x = A\sin \left( {\omega t} \right)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.

Чтобы найти уравнение ускорения точки при этих колебаниях, нужно дважды взять производную от уравнения колебаний. Сначала возьмем первую производную:

\[x^{\prime} = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)\]

Теперь берем вторую производную:

\[x^{\prime\prime} = — A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t} \right)\]

То есть мы имеем:

\[a = — A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t} \right)\]

Понятно, что максимальное по модулю значение ускорения в таком случае следует искать по формуле:

\[{a_{\max }} = A{\omega ^2}\;\;\;\;(1)\]

Циклическая частота колебаний \(\omega\) и частота колебаний \(\nu\) связаны по известной формуле:

\[\omega = 2\pi \nu \]

Тогда, учитывая это, формула (1) примет вид:

\[{a_{\max }} = 4{\pi ^2}{\nu ^2}A\]

Запишем полученную формулу дважды для двух значений частоты \(\nu_1\) и \(\nu_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{a_{\max 1}} = 4{\pi ^2}\nu _1^2A \hfill \\
{a_{\max 2}} = 4{\pi ^2}\nu _2^2A \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из этих формул видно, что если частоту колебаний уменьшить в 2 раза, то амплитуда ускорения уменьшится, поэтому будем искать отношение \(\frac{a_{\max1}}{a_{\max2}}\):

\[\frac{{{a_{\max 1}}}}{{{a_{\max 2}}}} = \frac{{\nu _1^2}}{{\nu _2^2}}\]

\[\frac{{{a_{\max 1}}}}{{{a_{\max 2}}}} = \frac{{4\nu _1^2}}{{\nu _1^2}} = 4\]