Решение: Смещение груза, подвешенного на пружине, в зависимости от времени задается законом

Условие задачи:

Смещение груза, подвешенного на пружине, в зависимости от времени задается законом \(x\left( t \right) = 0,08\cos \left( {10t + \frac{\pi }{4}} \right)\) (м). При этом максимальная кинетическая энергия составляет 0,8 Дж. Найдите жесткость пружины.

Задача №9.4.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(x\left( t \right) = 0,08\cos \left( {10t + \frac{\pi }{4}} \right)\), \(E_{кmax}=0,8\) Дж, \(k-?\)

Решение задачи:

Если пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону косинуса, то уравнение этих колебаний в общем случае можно представить в виде:

\[x = A\cos \left( {{\varphi _0} + \omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний, \(\varphi_0\) — начальная фаза колебаний.

Путем сравнения данного в условии уравнения с уравнением (1), получаем, что амплитуда колебаний маятника \(A\) равна 0,08 м.

Известно, что в процессе колебаний пружинного маятника потенциальная энергия переходит в кинетическую, и обратно, поэтому максимальная потенциальная энергия \(E_{пmax}\) равна максимальной кинетической энергии \(E_{кmax}\):

\[{E_{пmax}} = {E_{кmax}}\;\;\;\;(2)\]

Максимальную потенциальную энергию пружинного маятника можно определить по следующей формуле:

\[E_{пmax} = \frac{{k{A^2}}}{2}\;\;\;\;(3)\]

В этой формуле \(k\) — жесткость пружины, \(A\) — амплитуда колебаний.

Из формул (2) и (3) получим:

\[{E_{кmax}} = \frac{{k{A^2}}}{2}\]

Откуда искомая жесткость пружины \(k\) равна:

\[k = \frac{{2{E_{кmax}}}}{{{A^2}}}\]

Численный ответ равен:

\[k = \frac{{2 \cdot 0,8}}{{{{0,08}^2}}} = 250\;Н/м = 0,25\;кН/м\]