Решение: При фазе pi/3 смещение частицы, колеблющейся по закону косинуса, было равно 1 см

Условие задачи:

При фазе \(\frac{\pi}{3}\) смещение частицы, колеблющейся по закону косинуса, было равно 1 см. Найти амплитуду колебаний и смещение при фазе \(\frac{3\pi}{4}\).

Задача №9.1.17 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\varphi_1=\frac{\pi}{3}\), \(x_1=1\) см, \(\varphi_2=\frac{3\pi}{4}\), \(A-?\), \(x_2-?\)

Решение задачи:

Если материальная точка совершает гармонические колебания по закону косинуса, то уравнение этих колебаний в общем случае можно представить в виде:

\[x = A\cos \left( {{\varphi _0} + \omega t} \right)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний, \(\varphi_0\) — начальная фаза колебаний.

Если учесть, что аргумент косинуса \(\left( {{\varphi _0} + \omega t} \right)\) называется фазой колебаний \(\varphi\), то это уравнение можно записать в более простом виде:

\[x = A\cos \varphi \]

Запишем это уравнение для двух значений фаз \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{x_1} = A\cos {\varphi _1} \hfill \\
{x_2} = A\cos {\varphi _2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из верхнего уравнения мы можем найти амплитуду колебаний \(A\), так мы ответим на первый вопрос задачи.

\[A = \frac{{{x_1}}}{{\cos {\varphi _1}}}\]

Также разделим второе уравнение на первое:

\[\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{\cos {\varphi _2}}}{{\cos {\varphi _1}}}\]

Откуда искомое смещение \(x_2\) равно:

\[{x_2} = {x_1}\frac{{\cos {\varphi _2}}}{{\cos {\varphi _1}}}\]

Посчитаем численные ответы на вопросы задачи:

\[A = \frac{{0,01}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} = 0,02\;м\]

\[{x_2} = 0,01 \cdot \frac{{\cos \frac{{3\pi }}{4}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} = — 0,014\;м\]