Решение: Максимальная величина заряда на конденсаторе колебательного контура 1 мкКл

Условие задачи:

Максимальная величина заряда на конденсаторе колебательного контура 1 мкКл, а максимальное значение силы тока через катушку этого же контура 10 А. Определите длину волны, испускаемой этим контуром.

Задача №9.13.7 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(q_m=1\) мкКл, \(I_m=10\) А, \(\lambda-?\)

Решение задачи:

Частоту электромагнитных волн, излучаемых колебательным контуром, можно определить по формуле:

\[\nu = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(L\) — индуктивность катушки, \(C\) — электроемкость конденсатора.

Известно, что электромагнитные волны распространяются со скоростью света \(c\) (в вакууме она равна 3·10⁸ м/с). Между скоростью распространения электромагнитных волн (скоростью света \(c\)), частотой их колебаний \(\nu\) и длиной волны \(\lambda\) существует следующее соотношение:

\[c = \lambda \nu \]

Откуда длина волны \(\lambda\) равна:

\[\lambda = \frac{c}{\nu }\]

В эту формулу поставим выражение (1):

\[\lambda = 2\pi c\sqrt {LC}\;\;\;\;(2)\]

Также мы знаем, что максимальная энергия магнитного поля тока катушки колебательного контура равна максимальной энергии электрического поля конденсатора этого же контура, поэтому из закона сохранения энергии следует, что:

\[\frac{{LI_m^2}}{2} = \frac{{q_m^2}}{{2C}}\]

Откуда:

\[LC = \frac{{q_m^2}}{{I_m^2}}\]

\[\sqrt {LC} = \frac{{{q_m}}}{{{I_m}}}\]

Учитывая последнее полученное равенство, формула (2) примет вид:

\[\lambda = \frac{{2\pi c{q_m}}}{{{I_m}}}\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[\lambda = \frac{{2 \cdot 3,14 \cdot 3 \cdot {{10}^8} \cdot {{10}^{ — 6}}}}{{10}} = 188,4\;м\]