Решение: Как нужно изменить емкость конденсатора в колебательном контуре радиоприемника

Условие задачи:

Как нужно изменить емкость конденсатора в колебательном контуре радиоприемника, чтобы длина волны, на которую он настроен увеличилась в 4 раза?

Задача №9.13.10 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\lambda=4\lambda_0\), \(\frac{C}{C_0}-?\)

Решение задачи:

Частоту электромагнитных волн, которые принимает радиоприемник, можно определить по формуле:

\[\nu = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(L\) — индуктивность катушки, \(C\) — электроемкость конденсатора.

Известно, что электромагнитные волны распространяются со скоростью света \(c\) (в вакууме она равна 3·10⁸ м/с). Между скоростью распространения электромагнитных волн (скоростью света \(c\)), частотой их колебаний \(\nu\) и длиной волны \(\lambda\) существует следующее соотношение:

\[c = \lambda \nu \]

Откуда длина волны \(\lambda\) равна:

\[\lambda = \frac{c}{\nu }\]

В эту формулу подставим выражение (1):

\[\lambda = 2\pi c\sqrt {LC} \]

Запишем эту формулу для определения длин волн \(\lambda_0\) и \(\lambda\), принимаемых радиоприемником (при емкости конденсатора соответственно \(C_0\) и \(C\)):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\lambda _0} = 2\pi c\sqrt {L{C_0}} \hfill \\
\lambda = 2\pi c\sqrt {LC} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее равенство на верхнее:

\[\frac{\lambda }{{{\lambda _0}}} = \sqrt {\frac{C}{{{C_0}}}} \]

Возведем в квадрат обе части полученного равенства, тогда:

\[\frac{C}{{{C_0}}} = {\left( {\frac{\lambda }{{{\lambda _0}}}} \right)^2}\]

По условию задачи длина волны, на которую настроен радиоприемник, должна увеличится в 4 раза, то есть \(\lambda=4\lambda_0\), поэтому:

\[\frac{C}{{{C_0}}} = {\left( {\frac{{4{\lambda _0}}}{{{\lambda _0}}}} \right)^2} = 16\]