Решение: Два маятника начинают одновременно совершать колебания. За время первых

Условие задачи:

Два маятника начинают одновременно совершать колебания. За время первых 15 колебаний первого маятника второй совершил только 10 колебаний. Определите отношение длины второго маятника к длине первого.

Задача №9.2.7 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(N_1=15\), \(N_2=10\), \(\frac{l_2}{l_1}-?\)

Решение задачи:

Период колебаний \(T\) можно определять по формуле:

\[T = \frac{t}{N}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(t\) — время колебаний, \(N\) — число полных колебаний, которое было совершено за время \(t\).

Также период колебаний математического маятника легко найти по формуле Гюйгенса:

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \;\;\;\;(2)\]

Здесь \(l\) — длина маятника, \(g\) — ускорение свободного падения (для решения задач можно принимать \(g=10\) м/с²).

Приравняв (1) и (2), мы имеем равенство:

\[\frac{t}{N} = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \]

Запишем его для двух маятников:

\[\left\{ \begin{gathered}
\frac{t}{{{N_1}}} = 2\pi \sqrt {\frac{{{l_1}}}{g}} \hfill \\
\frac{t}{{{N_2}}} = 2\pi \sqrt {\frac{{{l_2}}}{g}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее уравнение на верхнее:

\[\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}} = \sqrt {\frac{{{l_2}}}{{{l_1}}}} \]

Возведем в квадрат обе части равенства, тогда:

\[\frac{{{l_2}}}{{{l_1}}} = {\left( {\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}}} \right)^2}\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[\frac{{{l_2}}}{{{l_1}}} = {\left( {\frac{{15}}{{10}}} \right)^2} = 2,25\]