Решение: Упругий шар, падая с высоты 80 м, после удара о Землю, отскакивает вертикально

Условие задачи:

Упругий шар, падая с высоты 80 м, после удара о Землю, отскакивает вертикально вверх со скоростью 0,75 скорости его при падении. Сколько времени пройдет от начала движения шара до второго удара о Землю?

Задача №1.4.47 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(H=80\) м, \(\upsilon_0=0,75 \upsilon\), \(t-?\)

Решение задачи:

Искомое время можно найти по формуле:

\[t = {t_1} + 2{t_2}\]

Здесь \(t_1\) — время падения шара с высоты \(H\), \(t_2\) — время подъема шара после соударения с Землей и время падения с некоторой после подъема, поскольку эти длительности равны.

Шар падал без начальной скорости, поэтому определить время \(t_1\) не составит трудности. Для этого воспользуемся знакомой всем формулой:

\[H = \frac{{gt_1^2}}{2} \Rightarrow {t_1} = \sqrt {\frac{{2H}}{g}} \]

При этом шар в момент касания земли будет иметь скорость:

\[\upsilon = g{t_1}\]

\[\upsilon = g\sqrt {\frac{{2H}}{g}} = \sqrt {2gH} \]

После удара о Землю шар потеряет некоторую часть скорости (точнее энергию) и начнет подниматься. В точке наивысшего подъема его скорость будет равна нулю, из этих соображений найдем время \(t_2\).

\[0 = {\upsilon _0} — g{t_2} \Rightarrow {t_2} = \frac{{{\upsilon _0}}}{g}\]

Так как \(\upsilon_0=0,75 \upsilon\) и \(\upsilon = \sqrt {2gH} \), значит:

\[{t_2} = \frac{{0,75\upsilon }}{g} = \frac{{3\upsilon }}{{4g}} = \frac{{3\sqrt {2gH} }}{{4g}} = \frac{3}{4}\sqrt {\frac{{2H}}{g}} \]

В итоге, подставим все выражения в самую первую формулу, получим:

\[t = \sqrt {\frac{{2H}}{g}} + 2 \cdot \frac{3}{4}\sqrt {\frac{{2H}}{g}} \]

\[t = \frac{5}{2}\sqrt {\frac{{2H}}{g}} \]

Сосчитаем ответ.

\[t = \frac{5}{2}\sqrt {\frac{{2 \cdot 80}}{{10}}} = 10\; с \]