Условие задачи:
Тело падает без начальной скорости с высоты 45 м. Определить среднюю скорость падения на второй половине пути.
Задача №1.4.45 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(H=45\) м, \(S_1=\frac{1}{2}H\), \(\upsilon_{ср}-?\)
Решение задачи:
Чтобы определить среднюю скорость на второй половине пути, необходимо поделить пройденный путь, равный \(\frac{1}{2}H\), на время \(t_1\), сколько летело тело эту половину пути.
\[{\upsilon _{ср}} = \frac{H}{{2{t_1}}}\]
Найдем время \(t_1\). Для этого воспользуемся следующими рассуждениями. Если тело прошло весь путь \(H\) за время \(t\), а последнюю половину пути за \(t_1\) секунд, то первую половину пути \(\frac{1}{2}H\) оно прошло за \(\left( {t — {t_1}} \right)\). Так как тело двигалось без начальной скорости с ускорением \(g\), то верно записать следующую систему:
\[\left\{ \begin{gathered}
H = \frac{{g{t^2}}}{2} \hfill \\
\frac{1}{2}H = \frac{{g{{\left( {t — {t_1}} \right)}^2}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Поделим верхнее выражение в системе на нижнюю.
\[{\left( {\frac{t}{{t — {t_1}}}} \right)^2} = 2\]
Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства.
\[\left[ \begin{gathered}
\frac{t}{{t — {t_1}}} = \sqrt 2 \hfill \\
\frac{t}{{t — {t_1}}} = — \sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Второе выражение можно «выкинуть», так как очевидно, что отношение времен не может быть отрицательным.
\[t = \sqrt 2 t — \sqrt 2 {t_1}\]
\[{t_1} = t\frac{{\sqrt 2 — 1}}{{\sqrt 2 }}\]
Полное время падения \(t_1\) тела найдем из первой формулы приведенной системы.
\[H = \frac{{g{t^2}}}{2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2H}}{g}} \]
Значит:
\[{t_1} = \frac{{\sqrt 2 — 1}}{{\sqrt 2 }}\sqrt {\frac{{2H}}{g}} \]
В итоге средняя скорость на второй половине пути найдется по формуле:
\[{\upsilon _{ср}} = \frac{{\sqrt 2 H}}{{2\left( {\sqrt 2 — 1} \right)}}\sqrt {\frac{g}{{2H}}} \]
\[{\upsilon _{ср}} = \frac{{\sqrt {gH} }}{{2\left( {\sqrt 2 — 1} \right)}}\]
Подсчитаем численный ответ, используя инженерный калькулятор.
\[{\upsilon _{ср}} = \frac{{\sqrt {10 \cdot 45} }}{{2\left( {\sqrt 2 — 1} \right)}} = 25,61\; м/с = 92,18\; км/ч \]
Ответ: 92,18 км/ч.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
1.4.44 Тело начинает свободно падать с высоты 45 м. В тот же момент с высоты 24 м
1.4.46 Тело свободно падает с высоты 5 м. Найти среднюю скорость тела на нижней
1.4.47 Упругий шар, падая с высоты 80 м, после удара о Землю, отскакивает вертикально
Все решается ГОРАЗДО ПРОЩЕ, если знать, что средняя линия в трапеции (со сторонами V1 и V2 ) — средняя скорость.
1) Скорость на высоте Н/2
H/2 = V1^2 / g
2) Скорость на Земле
H = V2^2/g
3) Средняя скорость
V_ср = (sqrt(2gH) + sqrt(gH))/2
V_cр = 25.61 м/c
А как найти среднюю скорость на всем пути?
Нужно весь путь \(H\) разделить на время падения \(t\):\[{\upsilon _{ср}} = \frac{H}{t}\]Время падения в решении уже найдено:\[t = \sqrt {\frac{{2H}}{g}} \]В итоге должны получить такую формулу:\[{\upsilon _{ср}} = H\sqrt {\frac{g}{{2H}}} \]Если внесем \(H\) под квадратный корень, то получим:\[{\upsilon _{ср}} = \sqrt {\frac{{gH}}{2}} \]Численный ответ равен:\[{\upsilon _{ср}} = \sqrt {\frac{{10 \cdot 45}}{2}} = 15\;м/с\]
можно ли разделить половину Н (22,5) на разницу между общим временем падения и временем падения в первой половине ( это время падения во второй половине) ?
ведь найти время падения в первой и второй можно формулой h = (gt^2)/2, т.к. у обоих v0 = 0
Можно. Но поправлю Вас: «ведь найти время падения в первой половине и общее время падения можно формулой…»
Тело падает без начальной скорости с высоты H=45 м . Найти среднюю скорость падения на нижней половине пути
Это та же самая задача
А почему время так находится?
я этого момента не поняла
Наверное, вам непонятно откуда взялась совокупность, получаемая после извлечения корня из 2.
Привожу более простую аналогию: x^2=4. Очевидно, что корня два: x=2 и x=-2, причем оба имеют место. Только в нашей задаче x — это отношение времен, причем и числитель, и знаменатель положительный, поэтому второй отрицательный корень можно отбросить.
Я, конечно, мог опустить этот момент, но в некоторых задачах вы можете потерять какое-то решение. Да и с точки зрения математики верно решать так, как показано на этой странице.