Решение: Свободно падающий камень пролетел последние три четверти пути за одну

Условие задачи:

Свободно падающий камень пролетел последние три четверти пути за одну секунду. С какой высоты падал камень, если его начальная скорость равна нулю? Сопротивление воздуха не учитывать.

Задача №1.4.43 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t_1=1\) с, \(S_1=\frac{3H}{4}\), \(\upsilon_0=0\) м/с, \(H-?\)

Решение задачи:

Если тело пролетает весь путь \(H\) за \(t\) секунд, то первую четверть пути \(\frac{1}{4}H\) — за \(\left( {t — {t_1}} \right)\) секунд, поскольку последние три четверти пути \(\frac{3}{4}H\) тело проходит за \(t_1=1\) секунду.

Так как начальная скорость камня \(\upsilon_0\) отсутствует, то запишем следующую систему.

\[\left\{ \begin{gathered}
H = \frac{{g{t^2}}}{2} \hfill \\
\frac{1}{4}H = \frac{{g{{\left( {t — {t_1}} \right)}^2}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим верхнее выражение на нижнее.

\[{\left( {\frac{t}{{t — {t_1}}}} \right)^2} = 4\]

Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства. В общем случае, извлекая корень, Вы должны писать следующую совокупность:

\[\left[ \begin{gathered}
\frac{t}{{t — {t_1}}} = 2 \hfill \\
\frac{t}{{t — {t_1}}} = — 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Мы откинули нижнее равенство, поскольку отношение времен \(t\) и \(\left( {t — {t_1}} \right)\) явно должно быть положительным.

\[\frac{t}{{t — {t_1}}} = 2\]

\[t = 2t — 2{t_1}\]

\[t = 2{t_1}\]

Подставим это выражение в первую формулу приведенной системы.

\[H = \frac{{g \cdot 4t_1^2}}{2}\]

\[H = 2gt_1^2\]

Последнее действие — сосчитать численный ответ.