Решение: Найти радиус вращающегося колеса, если линейная скорость точки на ободе

Условие задачи:

Найти радиус вращающегося колеса, если линейная скорость точки на ободе в 3 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 40 см ближе к оси колеса.

Задача №1.8.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\upsilon_1=3\upsilon_2\), \(\Delta R=40\) см, \(R-?\)

Решение задачи:

Запишем формулу линейной скорости \(\upsilon\) точки, находящейся на расстоянии \(R\) от оси и вращающейся с угловой скоростью \(\omega\).

\[\upsilon = \omega R\]

Далее запишем в системе линейные скорости двух рассматриваемых точек, учитывая, что они вращаются с одинаковой угловой скоростью, но находятся на разных расстояниях от оси вращения.

\[\left\{ \begin{gathered}
{\upsilon _1} = \omega R \hfill \\
{\upsilon _2} = \omega \left( {R — \Delta R} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим первое выражение системы на второе.

\[\frac{{{\upsilon _1}}}{{{\upsilon _2}}} = \frac{R}{{R — \Delta R}}\]

Так как по условию скорость точки 1 в 3 раза больше скорости точки 2, то:

\[\frac{{3{\upsilon _2}}}{{{\upsilon _2}}} = \frac{R}{{R — \Delta R}} \Rightarrow \frac{R}{{R — \Delta R}} = 3\]

\[R = 3R — 3\Delta R\]

\[2R = 3\Delta R\]

\[R = \frac{3}{2}\Delta R\]

Радиус колеса численно равен:

\[R = \frac{3}{2} \cdot 40 = 60\; см = 0,6\; м\]