Решение: В углах квадрата со стороной 4 см поместили 4 электрона. Под действием электрических

Условие задачи:

В углах квадрата со стороной 4 см поместили 4 электрона. Под действием электрических сил электроны разлетаются. Определить их скорости на бесконечности.

Задача №6.3.50 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(a=4\) см, \(\upsilon-?\)

Решение задачи:

Перед нами хороша задача на применение закона сохранения энергии. Понятно, что начальная потенциальная энергия взаимодействия электронов \(W_п\) на бесконечности полностью перейдёт в их кинетическую энергию \(W_к\).

\[{W_п} = {W_к}\;\;\;\;(1)\]

Чтобы найти полную потенциальную энергию взаимодействия электронов, необходимо сложить все попарные потенциальные энергии взаимодействия электронов. Если обозначить электроны цифрами 1, 2, 3, 4 (как мы это сделали на схеме), то таких пар будет шесть: 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4. Заметьте, что расстояние между электронами в четырёх парах (1-2, 1-3, 2-4, 3-4) равно длине стороны квадрата \(a\), а в двух парах (1-4 и 2-3) — некоторой величине \(l\), значение которой найдём по теореме Пифагора:

\[{l^2} = {a^2} + {a^2}\]

\[{l^2} = 2{a^2}\]

\[l = a\sqrt 2\;\;\;\;(2)\]

Тогда потенциальная энергия \(W_п\) равна:

\[{W_п} = \frac{{4k{e^2}}}{a} + \frac{{2k{e^2}}}{l}\]

Здесь \(k\) — коэффициент пропорциональности, равный 9·10⁹ Н·м²/Кл², \(e\) — элементарный заряд, равный 1,6·10^-19 Кл.

Принимая во внимание равенство (2), имеем:

\[{W_п} = \frac{{4k{e^2}}}{a} + \frac{{2k{e^2}}}{{a\sqrt 2 }}\]

\[{W_п} = \frac{{4k{e^2}}}{a} + \frac{{\sqrt 2 k{e^2}}}{a}\]

\[{W_п} = \frac{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right)k{e^2}}}{a}\;\;\;\;(3)\]

На бесконечности скорости всех электронов будет одинаковыми (из-за закона сохранения импульса) и равны \(\upsilon\). Полная кинетическая энергия электронов \(W_к\) при этом будет равна:

\[{W_к} = 4\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

\[{W_к} = 2m{\upsilon ^2}\;\;\;\;(4)\]

В полученной формуле \(m\) — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг. С учётом (3) и (4) равенство (1) примет такой вид:

\[\frac{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right)k{e^2}}}{a} = 2m{\upsilon ^2}\]

Откуда искомая скорость электронов \(\upsilon\) равна:

\[\upsilon = e\sqrt {\frac{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right)k}}{{2ma}}} \]

Посчитаем численный ответ:

\[\upsilon = 1,6 \cdot {10^{ — 19}} \cdot \sqrt {\frac{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right) \cdot 9 \cdot {{10}^9}}}{{2 \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ — 31}} \cdot 0,04}}} = 130,9\;м/с\]