Решение: В центре закрепленной полусферы радиуса R, заряженной равномерно

Условие задачи:

В центре закрепленной полусферы радиуса \(R\), заряженной равномерно с поверхностной плотностью зарядов \(+ \sigma\), расположен в вакууме маленький шарик массы \(m\), который заряжен зарядом \(+q\). Если шарик освободить, то в процессе движения он приобретет некоторую максимальную скорость. Найти эту скорость.

Задача №6.3.63 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R\), \(+ \sigma\), \(m\), \(+q\), \(\upsilon-?\)

Решение задачи:

Воспользуемся законом сохранения энергии, согласно которому потенциальная энергия взаимодействия \(W_п\) заряда шарика \(q\) с зарядами на полусфере полностью перейдёт (на бесконечности) в кинетическую энергию шарика \(W_к\).

\[{W_к} = {W_п}\;\;\;\;(1)\]

Кинетическую энергию шарика \(W_к\) легко определить по знакомой формуле:

\[{W_к} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\;\;\;\;(2)\]

Давайте определим потенциальную энергию взаимодействия \(W_п\) заряда шарика \(q\) с зарядами на полусфере. Для этого выполним следующий «трюк» — выделим на полусфере очень маленький участок (практически точечный, смотрите на рисунке поперечное сечение полусферы), который несёт некоторый малый заряд \(q_0\). Потенциальную энергию взаимодействия \(W_0\) заряда \(q_0\) с зарядом \(q\), находящимся на расстоянии \(R\) от него, можно определить по такой формуле:

\[{W_0} = \frac{{kq{q_0}}}{R}\;\;\;\;(3)\]

Понятно, что полную энергию \(W_п\) можно найти как сумму всех энергий \(W_0\):

\[{W_п} = \sum {{W_0}} \]

Учитывая (3), получим:

\[{W_п} = \sum {\frac{{kq{q_0}}}{R}} \]

\[{W_п} = \frac{{kq}}{R}\sum {{q_0}} \;\;\;\;(4)\]

Понятно, что выражение \(\sum {{q_0}}\) определяет суммарный заряд на полусфере, который, очевидно, можно найти как произведение поверхностной плотности заряда \(\sigma\) на площадь полусферы \(S\).

\[\sum {{q_0}} = \sigma S\]

Тогда (4) примет такой вид:

\[{W_п} = \frac{{kq\sigma S}}{R}\;\;\;\;(5)\]

Площадь полусферы \(S\) можно найти через её радиус \(R\) по такой формуле (половина площади сферы):

\[S = 2\pi {R^2}\;\;\;\;(6)\]

Также выразим коэффициент пропорциональности \(k\) через электрическую постоянную \(\varepsilon _0\):

\[k = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\;\;\;\;(7)\]

Подставим (6) и (7) в (5):

\[{W_п} = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{q\sigma }}{R} \cdot 2\pi {R^2}\]

\[{W_п} = \frac{{\sigma qR}}{{2{\varepsilon _0}}}\;\;\;\;(7)\]

Теперь подставим (2) и (7) в (1):

\[\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} = \frac{{\sigma qR}}{{2{\varepsilon _0}}}\]