Решение: Шарообразная капля, имеющая потенциал 2,5 В, получена в результате слияния двух

Условие задачи:

Шарообразная капля, имеющая потенциал 2,5 В, получена в результате слияния двух одинаковых капелек. Определить, до какого потенциала были заряжены мелкие капельки?

Задача №6.4.8 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\varphi=2,5$ В, $N=2$ , $\varphi_0-?$

Решение задачи:

Пусть $q_0$ — заряд маленьких капель, $q$ — заряд большой капли, которая получилась при слиянии маленьких, $C_0$ и $C$ — электроемкости маленьких и большой капель соответственно. Запишем формулы для определения потенциалов большой $\varphi$ и маленьких $\varphi_0$ капель через заряды и электроемкости:

$\left\{ \begin{gathered} \varphi = \frac{q}{C} \hfill \\ {\varphi _0} = \frac{{{q_0}}}{{{C_0}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Поделим нижнее равенство на верхнее, тогда:

$\frac{{{\varphi _0}}}{\varphi } = \frac{{{q_0} \cdot C}}{{q \cdot {C_0}}}$

${\varphi _0} = \varphi \frac{{{q_0} \cdot C}}{{q \cdot {C_0}}}\;\;\;(1)$

Понятно, что объем большой капли $V$ равен сумме объемов $V_0$ двух маленьких капелек. Поэтому имеет место равенство (по условию $N=2$ ):

$V = N{V_0}\;\;\;(2)$

Пусть радиус большой капли равен $R$ , радиус маленьких капелек — $r$ , тогда, вспомнив формулу из математики для определения объема шара, можно записать формулу (2) в следующем виде:

$\frac{4}{3}\pi {R^3} = N \cdot \frac{4}{3}\pi {r^3}$

${R^3} = N{r^3}$

Откуда:

$\frac{R}{r} = {N^{\frac{1}{3}}}\;\;\;(3)$

Запишем формулы для определения электроемкостей большой $C$ и маленьких $C_0$ капель:

$\left\{ \begin{gathered} C = 4\pi {\varepsilon _0}R \hfill \\ {C_0} = 4\pi {\varepsilon _0}r \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Поделим верхнее равенство на нижнее:

$\frac{C}{{{C_0}}} = \frac{R}{r}$

Если учесть ранее полученное (3), имеем:

$\frac{C}{{{C_0}}} = {N^{\frac{1}{3}}}\;\;\;(4)$

Из закона сохранения заряда следует, что между зарядом большой капли $q$ и зарядами $q_0$ маленьких капель в количестве $N$ штук существует соотношение:

$q = N{q_0}$

$\frac{{{q_0}}}{q} = \frac{1}{N}\;\;\;(5)$