Решение: Неподвижно закрепленный шарик, заряженный положительно, находится над шариком

Условие задачи:

Неподвижно закрепленный шарик, заряженный положительно, находится над шариком, заряженным отрицательно. Заряды шариков одинаковы, масса каждого равна 0,01 г, радиус 1 мм и расстояние между центрами шаров 20 мм. Какой должна быть их разность потенциалов, чтобы верхний шарик мог поднять нижний.

Задача №6.3.56 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=0,01\) г, \(R=1\) мм, \(l=20\) мм, \(\Delta \varphi-?\)

Решение задачи:

Чтобы верхний шарик смог поднять нижний, в начальный момент электрическая сила \(F_{эл}\), действующая на нижний шарик, должна быть больше силы тяжести \(mg\), то есть:

\[{F_{эл}} > mg\]

Если это условие выполняется, то нижний шарик будет двигаться вверх с ускорением, расстояние между шарами со временем будет уменьшаться, из-за чего сила \(F_{эл}\) будет возрастать (поскольку она обратно пропорциональна расстоянию) — то есть нижний шарик будет двигаться с переменным ускорением. В принципе мы можем рассмотреть и случай равенства сил, в таком случае любой сколь угодно малый толчок нижнего шарика вверх приведёт к такому же исходу. Поэтому:

\[{F_{эл}} = mg\]

Распишем силу электрического взаимодействия по известной формуле, тогда:

\[\frac{{k{q^2}}}{{{l^2}}} = mg\]

Откуда неизвестный модуль заряда шариков \(q\) равен:

\[q = \sqrt {\frac{{mg{l^2}}}{k}} = l\sqrt {\frac{{mg}}{k}} \;\;\;\;(1)\]

Всем известно, что потенциал заряженных шариков можно найти по формулам (\(\varphi_1\) — верхний шарик, \(\varphi_2\) — нижний шарик):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\varphi _1} = \frac{{kq}}{R} \hfill \\
{\varphi _2} = \frac{{ — kq}}{R} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Искомую разность потенциалов \(\Delta \varphi\), очевидно, нужно искать таким образом:

\[\Delta \varphi = {\varphi _1} — {\varphi _2}\]

Тогда:

\[\Delta \varphi = \frac{{kq}}{R} — \left( { — \frac{{kq}}{R}} \right)\]

\[\Delta \varphi = \frac{{2kq}}{R}\]