Условие задачи:

Два одинаковых маленьких шарика, имеющих одинаковые заряды 2 мкКл, соединены пружиной. Шарики колеблются так, что расстояние между ними меняется от 10 до 40 см. Найти жесткость пружины, если её длина в свободном состоянии равна 20 см.

Задача №6.3.29 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$q=2$ мкКл, $l_1=10$ см, $l_2=40$ см, $l=20$ см, $k_{пр}-?$

Решение задачи:

Очевидно, что максимальная деформация пружины будет равна $\left( {{l_2} — l} \right)$, а минимальная — $\left( {l — {l_1}} \right)$.

Энергия системы «пружина — шарики» состоит из потенциальной энергии деформации пружины, потенциальной энергии взаимодействия зарядов шариков и кинетической энергии шариков. Запишем закон сохранения для указанной системы для крайних положений, т.е. в которых скорость (а значит и кинетическая энергия) шариков равна нулю.

$$\frac{{k{q^2}}}{{{l_2}}} + \frac{{{k_{пр}}{{\left( {{l_2} — l} \right)}^2}}}{2} = \frac{{k{q^2}}}{{{l_1}}} + \frac{{{k_{пр}}{{\left( {l — {l_1}} \right)}^2}}}{2}$$

Здесь $k$ — коэффициент пропорциональности (в законе Кулона), равный 9·10⁹ Н·м²/Кл², а $k_{пр}$ — искомая жесткость пружины.

Сгруппируем в левой части потенциальные энергии пружины, а в правой — потенциальные энергии взаимодействия зарядов:

$$\frac{{{k_{пр}}}}{2}\left( {{{\left( {{l_2} — l} \right)}^2} — {{\left( {l — {l_1}} \right)}^2}} \right) = \frac{{k{q^2}}}{{{l_1}}} — \frac{{k{q^2}}}{{{l_2}}}$$

В левой части в скобках распишем разность квадратов, в правой приведём под общий знаменатель:

$$\frac{{{k_{пр}}}}{2}\left( {{l_2} — l — l + {l_1}} \right)\left( {{l_2} — l + l — {l_1}} \right) = \frac{{k{q^2}\left( {{l_2} — {l_1}} \right)}}{{{l_1}{l_2}}}$$

$$\frac{{{k_{пр}}}}{2}\left( {{l_1} + {l_2} — 2l} \right)\left( {{l_2} — {l_1}} \right) = \frac{{k{q^2}\left( {{l_2} — {l_1}} \right)}}{{{l_1}{l_2}}}$$

$$\frac{{{k_{пр}}}}{2}\left( {{l_1} + {l_2} — 2l} \right) = \frac{{k{q^2}}}{{{l_1}{l_2}}}$$

В итоге мы с Вами получим такое решение задачи в общем виде:

$${k_{пр}} = \frac{{2k{q^2}}}{{{l_1}{l_2}\left( {{l_1} + {l_2} — 2l} \right)}}$$

Осталось только посчитать численный ответ:

$${k_{пр}} = \frac{{2 \cdot 9 \cdot {{10}^9} \cdot {{\left( {2 \cdot {{10}^{ — 6}}} \right)}^2}}}{{0,1 \cdot 0,4 \cdot \left( {0,1 + 0,4 — 2 \cdot 0,2} \right)}} = 18\;Н/м$$

Ответ: 18 Н/м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.3.28 На сколько изменится потенциальная энергия взаимодействия зарядов 25 и -4 нКл
6.3.30 На расстоянии 90 см от поверхности шара радиусом 10 см, несущего положительный
6.3.31 Электрон переместился из точки с потенциалом 200 В в точку с потенциалом 300 В