Решение: Во сколько раз изменится запас потенциальной энергии упруго деформированного тела

Условие задачи:

Во сколько раз изменится запас потенциальной энергии упруго деформированного тела при увеличении его деформации в 2 раза?

Задача №2.7.11 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(x_2=2x_1\), \(\frac{E_{п2}}{E_{п1}}-?\)

Решение задачи:

Известно, что потенциальную энергию деформированного тела (например, пружины) можно найти по следующей формуле:

\[{E_{п}} = \frac{{k{x^2}}}{2}\]

В задании говорится, что изначально тело было деформировано на величину \(x_1\), а затем деформацию увеличивают до значения \(x_2\), равного \(2x_1\). Потенциальную энергию в этих состояниях найдем по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{E_{п1}} = \frac{{kx_1^2}}{2} \hfill \\
{E_{п2}} = \frac{{kx_2^2}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Найдем искомое отношение \(\frac{E_{п2}}{E_{п1}}\), поделив нижнее равенство на верхнее:

\[\frac{{{E_{п2}}}}{{{E_{п1}}}} = \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}}\]

По условию \(x_2=2x_1\), поэтому:

\[\frac{{{E_{п2}}}}{{{E_{п1}}}} = \frac{{{{\left( {2{x_1}} \right)}^2}}}{{x_1^2}} = \frac{{4x_1^2}}{{x_1^2}} = 4\]